2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计71-80-专项训练【含答案】.docxVIP

【评注】通过本题的解答，需要搞清楚：不出现某些点与只出现余下的点是不同的.如不出现1点、6点、2点及5点与只出现3点和4点是不同的.不出现1点、6点、2点及5点的概率为，而仅出现3点和4点的概率为.

（八）概率最值问题

【例15】为防止某事件发生，有甲、乙、丙、丁这四种相互独立的预防措施可采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后，此突发事件不发生的概率（记为）和所需费用信息如表1所示：

表1

预防措施

甲

乙

丙

丁

0.9

0.8

0.7

0.6

费用（万元）

90

60

30

10

预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案使得此突发事件不发生的概率最大.

【解析】预防措施可分为三种方案：

方案1，单独釆用一种预防措施的费用均不超过120万元，由表1可知采用甲措施使得此事件不发生的概率最大，其概率为0.9.

方案2，联合釆用两种预防措施，总费用不超过120万元，由表1可知联合采用甲、丙这两种预防措施使得此事件不发生的概率最大，其概率为1-（1-0.9）（1-0.7）=0.97.

方案3，联合釆用三种预防措施，总费用不超过120万元，故只能联合采用乙、丙、丁这三种预防措施，此时此事件不发生的概率为1-（1-0.8）（1-0.7）（l-0.6）=0.976.

综合上述三种预防措施方案，在总费用不超过120万元的前提下，联合采用乙、丙、丁这三种预防措施，可使此突发事件不发生的概率最大.

【例16】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系的位学生参加（和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系的位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为.求：

（1）该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（2）使（）取得最大值的整数.

【解析】（1）因为事件（学生甲收到李老师所发信息）与事件（学生甲收到张老师所发信息）是相互独立的事件，所以与相互独立.

由于，故.

因此.

（2）当时，只能取，有；

当时，整数满足，其中是和中的较小者.

由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为，当时，同时收到李老师和张老师发送的信息的学生人数恰为，仅收到李老师或仅收到张老师发送的信息的学生人数均为.

由乘法计数原理知：事件所包含基本事件数为，

此时.

当时，.

假如成立，则当能被整除时，，故在和处取得最大值；

当不能被整除时，在处达最大值.

下面证明.

因为，所以.

又，故，显然.

因为.

（九）扑克花色问题

【例17】从一副52张的扑克牌中任取4张，求其中至少有2张牌的花色相同的概率.

【解析】解法1任取4张牌，设至少有2张牌的花色相同为事件；4张牌是同一花色为事件；有3张牌是同一花色，另一张牌是其他花色为事件；每两张牌是同一花色为事件；只有两张牌是同一花色，另两张牌分别是不同花色为事件.可见，，，，彼此互斥，且.

因为，

， ，

所以.

解法2设任取4张牌中至少有两张牌的花色相同为事件，则为取出的4张牌的花色各不相同.因为，所以.

故至少有2张牌的花色相同的概率是0.8945.

【例18】一副扑克牌有红桃、黑桃、梅花、方块4种花色，每种花色有13张牌，共52张牌，从一副洗好的牌中任取4张，求4张中至少有3张黑桃的概率.

【解析】从52张牌中任取4张，有种取法.

“4张中至少有3张黑桃”，可分为“恰有3张黑桃”和“4张全是黑桃”，共有种取法，所以.

【评注】研究至少情况时，分类要清楚.

（十）产品正次问题。

【例19】在20件产品中，有15件正品、5件次品，从中任取3件，求：

（1）恰有1件次品的概率；

（2）至少有1件次品的概率.

【解析】（1）从20件产品中任取3件的取法有种，其中恰有1件次品的取法有种.所以恰有一件次品的概率.

（2）解法1从20件产品中任取3件，其中恰有1件次品为事件，恰有2件次品为事件，3件全是次品为事件，则它们的概率分别为：

又事件，彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率.

解法2记从20件产品中任取3件，3件全是正品为事件，那么任取3件，至少有1件次品为.根据对立事件的概率加法公式得，.

【例20】在100件产品中，有95件合格品、5件次品，从中任取2件，求：

（1）2件都是合格品的概率；

（2）2件都是次品的概率；

（3）1件是合格品，1件是次品的概率。

【解析】从100件产品中任取2件的可能出现的结果数，就是从100个元素中任取2个元素的组合数.由于是任意抽取，这些结果出现的可能性相等，所以为基本事件总数.

（1）100件产品中有95