2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计91-100-专项训练【含答案】.docxVIP

（2)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4

故的分布列是

0

1

2

3

4

所以EX=

（十二）茎叶期望问题

【例52】为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试,现随机抽取了该校20名学生的测试成绩,得到如图5所示的茎叶图：

（1）若测试成绩不低于90分,则称为“优秀成绩”,求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率;

（2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数,求的分布列及数学期望.

【解析】（1）通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，“至多一人成绩优秀”为事件,则.

(2)由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率

可取0,1,2,3，故的分布列为

0

1

2

3

91

故=

【变式训练12】

佛山某中学高三（1）班的排球队和篮球队各有十名同学。现测得排球队十人的身高分别是162，170，171，182，163，158，179，168，183，168.篮球队十人的身高分别是：170,159,162,173,181,165，176，168，178，179。

（1）请把两对身高数据记录在如图六所示的茎叶图中。并指出哪个队的身高数据方差较小，（无需计算）。

（2）利用简单随机抽样的方法，分别在两只球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178厘米的人数为。求的分布列和数学期望。

【例53】以下茎叶图记录了甲乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩。乙组记录中有一个字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图7中以a表示。

若甲乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；

求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；

当a=2时，分别从甲乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望。

【解析】（1）依题意，得，解得a=1.

（2）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，依题意a=0，1，2，…，9，共有10种可能.由（1）可知，当a=1时，甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当a=2，3，4，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能.所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率

(3)当时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种，它们是

则这两名同学成绩之差的绝对值的所有可能的取值为0,1,2,3,4

因此.

所以随机变量的分布列为:92

0

1

2

3

4

所以的数学期望

（十三）自主选课问题

【例54】某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座.规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座.统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如表5所示：

（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望.

【解析】（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，

（2)可能取值为0,1,2,3,4,5,

所以随机变量的分布列为

0

1

2

3

4

5

93

（十四）睡眠调查问题

【例55】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。

（1）应分别从甲、乙、丙三个部门的员工中抽取多少人？

（2）若抽出的/人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”为事件A，求事件A发生的概率。

【解析】（1）由已知得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2.

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

（2）（i）随机变量X的所有可能取值为0,12,3

所以，随机变量的分布列为

0

1

2

3

随机变量的数学期望.

(ii)设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人