2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量41-50-专项训练【含答案】.docxVIP

又从而所以

【评注】求角的大小,必须用所在区间上的单调函数（或单值对应函数）.本题若用正弦函数就难以定角.

[例2]设求的值.

[解析]因为,所以.

因为,所以.

因为所以

,

即.

所以.

因为所以.

【评注】本题若用余弦函数,就难以定角.

[例3]在中，“”是“为锐角三角形”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分切不必要条件

【答案】C

[解析]解法1：为锐角三角形

解法2由得

,

三角形中不可能有两个钝角，故三个正切值都是正的,即为锐角三角形.故选C.

[例4]已知是方程的两根,且求的值.

[解析]因为是方程的两根，

所以,

因为，

所以所以.

[例5]若且

求的值.

[解析]解法平方相加即得,

又所以.

解法2：用向量法求解.

设,

因为,所以.

所以向量构成首尾相连的等边三角形,从而.

[例6]已知为锐角，且则

[解析]已知条件中的两式相除得化简得

即从而.

[例7]已知

(1)若求证:

(2)设若求的值.

[解析]（1）因为所以即

又因为,

所以所以.

(2)因为.

所以即

市过分别平方再相加得

即所以.

因为所以

二、已知复角，换元变角

[例8]已知求的值.

[解析]令则.

原题目变为：已知求的值.

因为,所以.

【评注】对于已知角为和差角的情形,常用以下两种处坦方案.

=1\*GB3①分拆配奏，化零为整.

包括已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换等.常用的拆配方法有:

=2\*GB3②已知“复角”,换成“单角”。

已知“复角”,换成“单角”,这是比较有效的方法,如本题的处理方法,把已知“复角”换成“单角”,并改写题目形式,使原题的命题背景暴露出来.

【变式训练】

1.已知则

2.已知则

3.已知且求的值.

[例9]已知求的值.

[解析]令得,

从而又则,故

【变式训练】

设为锐角,若则.

[例10]已知则.

【答案】

[解析]令得

则原题日变为:已知求的值,

易得，

所以

[例11]已知求的值.

[解析]解法1：由得,

则平方得即.

令.则得即解得或.

又则所以.

故

解法2：由已知条件易得

令则解得.

由

所以.

解法3:令则,

从而

则原题目变为:巳知的值.

下同解法1.

【变式训练】

已知求的值.

[例12]已知求的值.

因为，所以，

所以

解法2：令则

，

所以.。

【变式训练】

1.已知求的值.

2.已知且求的值.

【例13】若，且，则的值为。

【答案】

【解析】令则

因为,

所以.

【变式训练】

已知且求及的值.

【例14】已知为锐角则与的函数关系为。

【答案】

换元，则原题目变为：

已知为锐角为针角,则与的函数关系为。

参考函数图象(图略)知则.

由可得.

【例15】已知若求的值.

【解析】解法1:由,

得,

所以,

移项整理得

因为

所以从而有即,所以

解法2：换元，令

则原题目变为:已知求的值.

由,

展开得即

因为,

所以即.

所以

【例16】已知求的值.

【解析】换元，令,

则原题目变为:巳知求的值.

由得从而,

所以.

【评注】由可得则所以有.

【例17】已知则。

【答案】

【解析】令得

则原题目变为:已知求的值.

由

展开得

即

即得.

所以.

【变式训练】

已知则的值为().

A.B.C.D.

三、恒等变形，切割化弦

证明恒等

【例18】已知求证

【解析】由条件知

从而得,

则,

得

则

进而得,即,

所以.

【例19】求试

【解析】

得证.

(二)化简求值

【例20】已知,化简并求值.

【解析】

【例21】化简

【解析】解法1：

【例22】已知锐角三角形的内角$A,B$满