2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量121~130-专项训练【含答案】.docxVIP

（十七）余弦定理，多重使用

【例72】在中，已知点在上,则的长为．的长为．

【答案】

【解析】先余用弦定理求的长．

所以．

又，

所以．

（十八）面积函数，两弦相辅

【例73】如图，在中，已知内角边设内角的面积为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

【解析】（1)在中,且得.

因为,

所以,则,所以.

(2)由(1)知,

当即时，取得最大值.

【变式训练】

如图，已知在中，记.

(1)求的解析式;

(2)求的值域.

【例74】如图，在中，已知.设内角的大小为，

的面积为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

【解析】(1)由得,

则得,

从而即.

(2)解法1：由（1）得,

得,

所以.

从而知的最大值为4．

解法2：由，得，点的轨迹是圆，故的最大值在最高点处取到，如图，从而知的最大值为4．

【例75】如图，在中，已知.设内角的大小为，

的面积为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

【解析】（1），

由得得,

所以，

得，

从而

所以

(2)解法1：由(1)得,

即,

也即

平方得,

整理得

所以

化简得从而知的最大值为4．

解法2：柯西不等式法

经验证等号能取到.

所以的最大值为4．

【例76】如图，在中，已知.设内角的大小为，

的面积为．

（1）求函数的解析式和定义域；

（2）求的最大值．

【解析】（1）得则.

由得,即,

得,

从而有,

所以.

（2）

经验证等亞能取到.

所以的最大值为4．

【例77】如图，平面上有四点其中为定点,为动点,满足设与的而积分别为.

（1），求角的值;

（2）求的最大值.

【解析】（1）因为,

所以，

得.

（2）如图,设，

由余弦定理和柯西不等式得：

由且，

得，

所以，

从而,故所求最大值为.

【例78】在中，内角的对边分别为，已知上的中线长为4，则面积的最大值为．

【答案】

【解析】如图，取极端情况，即为正三角形．

作上的中线交中线于点．

易知$

所以

（十九）见切化弦，一用向量

【例79】如图，已知是的重心，且则实数的值为（）.

A． B． C．3 D．2

【答案】B

【解析】由得,

由得即，

展开得

即

即,

从而有

整理得,

所以故选.

（二十）三线长度，统一模式

【例80】中线长问题

如图,已知在中是的中点,中线求的解析式．

【解析】将延长至点使连结如图．

因为是的中点满足对角线互相平分，

所以四边形是平行四边形，

故,

则

在中，由余弦定理得①，

在中，由余弦定理得:

②,

①+②得即③．

③式表明，平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和．

由③式得

即,这就是三角形的中线长定理．

【评注】

（1）作辅助线的方法:三角形中有中线,延长中线等中线.

（2）平行四边形判定法则为“三对一组平分线.

三对:两组对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等.

一组:一组对边平行且相等.

平分线:对角线互相平分.

满足上述五个条件之一的四边形即为平行四边形.

【例81】角平分线长问题

如图,已知在中是的平分线,求的解析式．

【解析】先作辅助线确定方法有两种.

（ⅰ）作垂线.

如图，过点分别作的垂线，垂足为则,

于是①，

又②，

由①②两式得③，

③式就是三角形的角平分线定理.

（ⅱ）作平行线.

如图,过点作交的延长线于点，则于是则，

从而同样得到③式.

在中，由余弦定理得:

④.

在中，由余弦定理得:

⑤.

由④+⑤和得:

，

即，

该式即为斯特瓦尔特定理.

易得⑥，

止③式得即,

即

代入⑥式后化简得⑦.

⑦式是角平分线定理的一个推论,或者说是角平分线定理的另一种形式,即斯库顿定理.

于是有:

故,

这就是角平分线长的公式.

【例82】高线长问题

如图，已知在中是上的高求的解析式.

【解析】首先推导海伦公式.

由余弦定理得,

平方得,

即.

则

于是

①式中,为三角形的半周长.

将①式开平方并代入得:

②，

这就是计算三角形面积的海伦公式.

在本题中，由三角形面积公式得,

将②式代入得.

【例83】三线统一问题

如图，已知在中是边上的点,设求的解析式.

【解析】由斯特瓦尔特定理得:

故

从而.

这是前面3首例