2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量151-160-专项训练【含答案】.docxVIP

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二十六、最大张角

【例36】如图，有一座高40米的灯塔，是的中点.点在离塔杆底部(点)多远处时，张角最大?

【解析】设，则，

，

当且仅当，即时，达到最大.

所以当点与点的距离为米时，张角最大.

【评注】点其实是过点两点的圆与直线相切时的切点.

【变式训练】

已知矩形的边，为边上的一个动点，则当最大时，线段的长为（）

A.1或3 B.1.5或2.5 C.2 D.3

第六章巧插分点，突破万难

向量是解决几何问题的代数工具.平面几何问题在解题时常常需要添加适当的辅助线,具有很高的技巧性,有的问题几乎难以为继.引入向量后,几乎可以摒弃辅助线,让几何问题转化为代数运算问题,但由于代数运算灵活、复杂,又使很多同学望而生畏.因此,本章为同学们提供了一种简单有效的破招秘认:巧插分点,突破万难.

一、目标共线,条件点插

【例1】已知平面上一点与不共线的三点满足关系式：，则下列结论正确的是（）

A.点在上，且

B.点在上，且

C.点在上，且

D.点为的重心

【答案】A

【解析】由于选项中没有出现，故可在中插入分点，则有，即得，从而有，故选.

【例2】已知是所在平面内一点，为的中点，且，那么（）

A. B. C. D.

【答案】A.

【解析】由于选项中没有出现点故可在中插入分点，则有，因为，所以

即，从而有故选

【变式训练】设是所在平面内的一点，，则（）

A. B.

C. D.

二、出现垂直，正交分拆

【例3】设是夹角为的两个单位向量,已知，若是以为直角顶点的直角三角形,则取值的集合为_________________.

【答案】

【解析】如图，在中插入分点.由，

得，

从而.

,

因为，所以，

即，

所以

三、遇到外心，抓住投影

【例4】已知为锐角的外接圆圆心，，若，则_____(用表示）

【答案】.

【解析】解析1：将已知条件两边平方得

，为外接圆半径，

由正弦定理得:

即

则

，

所以.

解法2：由题意得，

两边同时点乘，得，

则有，

所以.

【例5】已知是的外心，，若，则_____________.

【答案】或

【解析】如图1，（为的中点）.

由于，故三点共线，

又是外心，故.

当时，点与点重合,如图2，，故.

当时,无解.

综上，或.

四、式子复杂，分拆统一

【例6】已知是直上不同的三点，点在直线外,若，则_____________.

【答案】2.

【解析】由于题设条件有“是直上不同的三点”，故对“”中的插入分点，即，如图，

则，

即,

从而，

得，解得.

将代回原式得，则，即

所以.

【例7】已知是平面上不共线的三点，动点满足（且），则点的轨迹一定通过的().

A.内心 B.垂心 C.重心 D.的中点

【答案】D.

【解析】解法1：合并法

由，

得，

即

从而，其中为的重心，为的中点，

所以，所以四点共线.

由于，不能选重心，故只能选D.

解法2：插入分点法

由，

得

整理得

即

其中为的重心，为的中点.

故选D.

解法3：极端原理法

令，则，知点为的重心，

令，则，知点为顶点.

综上知点在中线上，由于，不能选重心，故只能选D.

【评注】分拆与合并是相辅相成的，同等重要，用极端原理法则更简便.

【例8】若是直线上不同的三点，点在直线外,且使得关于实数的方程有解，则此方程的解是（）

A. B. C. D.

【答案】D.

【解析】由于题设条件为“是直线上不同的三点”,故在中插入分点，则，从而，即.

因为三点共线，所以,得（舍去），故选

五、面积比值，插入分点

【例9】已知的三个顶点及所在平面内一点满足，设与的面积分别为，则___________.

【答案】2:1

【解析】由于所求问题“与的面积比”中没有出现，

故插入分点，得，即

从而知是的三等分点，则

【例10】设点在内部，且，则与的面积的比值是（）.

A.3 B.4 C.5 D.6

【答案】B.

【解析】由得

从而有，

为的中点，如图，则，即，

所以为中线的中点，所以与的面积的比值为4，故选B.

【评注】插入分点是解题的关键.

【规律探索】

设点在内部，且，则有以下结论:

(1)与的面积之比是；

(2)的面积之比是.

证明如下.令如图

则

所以为的重心,故有

又

故

从而

所以

同理得,

所以.

【变式训练】

设点在内部，且，则与的面积之比是_______.

【拓展提升】

设点在内部，且，则与的面积之比是_____.

六、内心公式，分插破招

【例11】设为的内心，，则___.

【答案】

【解析】过点作，如图，由于是直角三角形，易知内切圆半径为1.

，

由，对比系数可得.

【例12】设为的内心,,则=_____，=____________.

【答案】.