2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量191-200-专项训练【含答案】.docxVIP

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，

由，

代入坐标即得，

得，即，所以.

解法2：向量转化法

，

由三点共线，得，则，

从而，即，所以.

【评注】坐标法解题非常直接，不需要过多的技巧.

【例41】已知在中，，，是线段上的一点（不与端点重合），且，则的取值范围是.

【答案】

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，由，得，

由题意易知，，

则

得，经检验等号取不到.

另一方面，当点与点重合时应取得最大值，

此时或，

结合可得，但点不与端点重合，故最大值取不到.

综上，的取值范围是.

解法2：如图，易得是直角三角形，设的中点为，则，且.设，由，

得，即在方向上的投影恒为.

过点作的垂线，设垂足为，则恒有.

又，所以为的中点，即为等腰三角形，

所以，.

【例42】已知正方形的边长为，是边上的动点，则，

的最大值为.

【答案】1；1

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图1，

设，，则，

解法2：向量转化法

如图2，根据平面向量的数量积公式得：

由图2可知，，因此，

.

而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时点与点重合，射影为，所以长度为1，故所求最大值为1.

【变式训练】

如图，平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，若，，且，则.

【例43】若平面向量满足，则的最小值是.

【答案】

【解析】解法1：坐标法

设，，则.由于，则有，

整理得，，

即，经检验等号均能取到.所以，即.

解法2：见模先平方，由得，

因为，所以，即.

【例44】在等腰中，，，为边上的两个动点（不与点重合），且满足，则的取值范围为（）.

A.B.C.D.

【答案】

【解析】以等腰直角三角形的直角边为轴，为轴建立平面直角坐标系，如图，则，直线的方程为.

设，，则，从而，，

所以，

因为，所以当时，取得最小值.

又当时，，故，因此的取值范围为

故选.

【例45】已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是.

【答案】

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系并标出各点的坐标，如图，

则，

由与的夹角为，得，所以.

解法2：数形结合法

如图，向量构成三角形，

在三角形中，由正弦定理得，解得.

【评注】解法1思路简单，但运算量大.

【例46】在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，其中.若，且，点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）

【案案】A

【解析】设向量，则由题设，得

则有，即，所以故选.

【例47】已知向量与关于轴对称，，则满足不等式的点的集合用阴影表示为（）

【答案】C

【解析】因为，则有，

所以点的集合是以为圆心、1为半径的圆及其内部，故选C.

【例】已知为正方形内一点，且满足，则.

【答案】1：3

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系，如图，设正方形边长为，.

由得：

解得，所以.

解法2：由

得，即.

如图，延长至点，使，延长至点，使，

过点作交于点.

易知，，，不妨假设，

易得，所以.

【例49】已知为等边三角形，，设点满足，，，若，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】解法1：坐标法

建立平面直角坐标系，并标出各点坐标，如图，

因为，则，

所以，则，

因为，

所以

解得，故选.

解法2：如图，设，则，

又，

由，得：

即，整理得，即，

解得，故选.

【变式训练】

已知在中，，其外接圆的圆心为，则.

【例50】已知在中，是斜边的中点，是线段的中点，则的值为（）

A.2B.4C.5D.10

【答案】

【解析】解法1：坐标法

将直角三角形放入平面直角坐标系中，如图，

设，则

所以，，

，

所以，即.

故选.

解法2：中线长定理法.

因为

，

所以故选.

【评注】本题用几何法求解十分简单，但需要很高的技巧，即需要用到中线长定理，一般同学不容易想到.而坐标法虽然运算量大，但思路简单，易操作.

【例51】在中，是的中点，，则.

【答案】

【解析】解法1：坐标法

以中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系（图略），

设，由得，

则.

解法2：特例法

假设是的等腰三角形，则，

，所以.

解法3：

.

【例52】已知在平行四边形中，，边的长分别为，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是.

【答案】

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，

设，

由，得，从而有，

所以

【例53】在