2025年北师大版九年级下册数学期末复习微专题1方法技巧 锐角三角函数求值的常用方法.docxVIP

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微专题1方法技巧锐角三角函数求值的常用方法

类型一定义法求锐角三角函数值

前提

具体步骤

锐角在直角三角形中

1.计算对边、邻边或斜边的长;

2.根据定义,计算锐角三角函数值;

3.化简

【针对训练】

1.(2024·厦门质检)在Rt△ABC中,∠C为直角,AC=4,BC=3,那么以下结论错误的是(A)

A.tanA=35 B.cosA=

C.sinA=35 D.tanB=

2.如图源于我国古代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cosα的值为(D)

A.34 B.43 C.35

3.已知:如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°,AB=2.

(1)求矩形对角线的长;

(2)过O作OE⊥AD于点E,连接BE.记∠ABE=α,求tanα的值.

【解析】(1)∵∠BOC=120°,

∴∠AOB=60°.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAD=90°,AC=BD,AO=OC,BO=DO,

∴AO=BO,

∴△AOB是等边三角形,

∴AB=AO=BO.

∵AB=2,∴BO=2,

∴BD=2BO=4,

∴矩形对角线的长为4.

(2)由勾股定理得AD=BD2-AB

∵OA=OD,OE⊥AD于点E,

∴AE=DE=12AD=3

∴tanα=AEAB=3

类型二公式法求锐角三角函数值

公式

条件

作用

sin2A+

cos2A=1

0°∠A

90°

易计算sinA或cosA的值

sinA

=cosB

∠A+∠B

=90°

易计算∠A或∠B和sinA或cosB的值

tanA

=sin

0°∠A

90°

在sinA,cosA和tanA中知二求一

tanB·

tanA=1

∠A+∠B

=90°

易计算∠A或∠B和tanA或tanB的值

【针对训练】

4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=23,则tanB

A.133 B.132 C.32

5.(2024·邵阳质检)如果α是锐角,且cosα=45,那么sinα

A.15 B.25 C.35

6.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=0.618,则cosB的值为0.618.?

类型三参数法求锐角三角函数值

前提

具体步骤

已知两条边的比值或关系

1.参数表示边的长;

2.代入锐角三角函数定义,得到等式;

3.计算边的比值

【针对训练】

7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3AC,则sinB=(C)

A.13 B.3 C.1010

8.(2024·长春期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=13,则tanA的值为

A.24 B.33 C.22

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知∠A的正弦值是23,那么∠B的正弦值是?5

类型四等角转化法求锐角三角函数值

前提

具体步骤

不能直接求出锐角三角函数值

1.先找出相等的角;

2.然后计算等角的三角函数值;

3.利用“等角的三角函数值相等”解答

【针对训练】

10.(2024·常州质检)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边上的高,CD=3,AC=4,则cosB的值是(C)

A.35 B.45 C.34

11.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB=6,AD=8,求sin∠OEA的值.

【解析】因为四边形ABCD是矩形,所以CD=AB=6,∠ADC=90°,所以AC=AD2+CD2=10.因为OE

所以∠OEA+∠OAE=90°=∠ACD+∠CAD,所以∠OEA=∠ACD,

所以sin∠OEA=sin∠ACD=ADAC=810=

类型五构造直角三角形求锐角三角函数值

前提

具体步骤

锐角不在直角三角形中

1.添加辅助线构造直角三角形;

2.在直角三角形中计算锐角三角函数值

【针对训练】

12.(2024·泰安质检)在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则tan∠AOB的值为(B)

A.2 B.12 C.55

13.如图,在直角坐标系xOy中,已知点A(4,3),直线OA与x轴正半轴的夹角为α,那么sinα的值是?35

14.如图,在由边长为2的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P.

(1)求线段PB的长;

(2)求sin∠APD的值.

【解析】(1)AB=22

因为AC∥DB,

所以∠ACP=∠BDP,∠CAP=∠DBP,

所以△APC∽△BPD,

所以BPAP=BDAC=

所以PB=14AB=

(