2025高考一轮复习（人教A版）第30讲 空间向量的应用（含答案）.docxVIP

PAGE\*Arabic1

2025高考一轮复习（人教A版）第三十讲空间向量的应用

阅卷人

一、选择题

得分

1．设x,y∈R，向量a=x,2,2,b=

A．?8 B．?2 C．2 D．8

2．已知直线l的方向向量为a=?1,0,1，点A=1,2,?1在l上，则点P=

A．15 B．4 C．17 D．3

3．下列四个命题，其中真命题是（）

A．点M3,2,1关于平面yOz对称的点的坐标是

B．若直线a的方向向量为a=1,0,?1，平面α的法向量为m

C．若AB=1,2,?2，AC=?12

D．向量a=1,0,?1，b=2,?1,1则向量b

4．若平面α,β的法向量分别为a=2,?1,0,b=

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．无法确定

5．已知空间向量a=

A．向量a在向量b上的投影向量是?

B．a

C．a

D．cos

6．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为6，点M为CC

A．22π B．32 C．6

7．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点

A．[1,2] B．[1,3] C．

8．已知四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=5，E为PC的中点，则异面直线BE与PD

A．?1339 B．1339 C．?

9．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，BC=4，CC1=2，M在AB上．以D为原点，DA，DC，DD1

A．13 B．12 C．2

阅卷人

二、多项选择题

得分

10．已知正方体ABCD?A

A．直线B1C与直线B

B．直线B1C与平面AC

C．四面体D1?A

D．点A到平面D1B

11．下列命题正确的是（）

A．在空间直角坐标系中，已知点A2,3,?5,B0,?2,?2

B．已知a=0,1,4,b=3

C．若直线l的方向向量为e=3,0,?1，平面α的法向量为n

D．已知三棱锥O?ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=1

12．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C

A．若D1Q∥平面

B．存在Q点，使得D1Q⊥

C．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥

D．若D1Q=

13．如图，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C

A．平面AEF截正方体ABCD?A

B．点G到平面AEF的距离为定值

C．若A1G=xA1

D．直线AG与平面AEF所成角的正弦值的取值范围为15

阅卷人

三、填空题

得分

14．已知n=1,0,1为平面α的一个法向量，点P3,2,1位于平面α内，写出平面α内异于点P

15．如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，|AP|=|AB|=2，|AD|=4，E是BC上的点，直线PB与平面PDE所成角的正弦值为36，则BE的长为

阅卷人

四、解答题

得分

16．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1是菱形，平面ACC1A1⊥平面ABC

（1）证明：EF//平面ABB

（2）若三棱锥C1?ABC的体积为1，且二面角A?EG?F的余弦值为4

17．如图，在三棱锥A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点，△OCD是边长为1的等边三角形，且VA?BCD

（1）求三棱锥A?BCD的高；

（2）求直线CD和平面ABC所成角的正弦值；

（3）在棱AD上是否存在点E，使二面角E?BC?D的大小为45°？若存在，并求出AEDE

18．正方体ABCD?A1B1C

（1）求证：AB

（2）若M为A1D1中点，求点A

（3）在棱A1D1上是否存在点M，使得A1C⊥

19．如图所示：多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，四边形ABEF为直角梯形，且AF//BE，AF⊥平面ABCD，AB=BE=2AF=2．

（1）证明：BD⊥平面ACF；

（2）若直线DA与平面ACF所成的角为60°，求平面ACF与平面CEF所成角的正弦值．

答案解析部分

1．【答案】B

【解析】【解答】解：因为a⊥c，所以a·

又因为b∥c，所以23=y

故答案为：B.

【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算求解即可.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：易知PA=?1,3,?3，

则cosa,PA

因为PA=

所以P=2,?1,2到直线l的距离为PA

故答案为：C.

【分析】由题意，先计算向量PA的模长，以及PA与直线夹角l的正弦值，再根据点P到直线l的距离PAsin

3．【答案】C

【解析】【解答】对于A，点M3,2,1关于平面yOz对称的点的坐标是?3,2,1

对于B，a?m=1,0,?1?1,1,1=1?1=0

对于C，AB2=1+4+4=9，所以

则点B到直线AC的距离为AB?

对于D