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华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2006学年第1学期考试科目：解析几何

考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟

学号姓名年级专业

题号

一

二

三

四

总分

得分

评阅人

填空题（每空2分，共16分）。

设向量非零，若，则与满足的条件。

设非零不共线，则的正向所成角的平分线上的单位向量是。

设向量，则同时垂直于向量的单位向量为。

设为互相垂直的右旋向量组，且，则＝。

参数方程，表示的二次曲面是。

绕自身的渐近线旋转的的旋转面方程为。

二次曲线的平行于的切线方程是。

曲线关于面上的投影曲线方程为。

选择题（每题3分，共24分）。

下列命题中，正确的是()

A、；

B、；

C、；

D、。

设向量是不共线，且()

设均为单位向量，且，则的值为()

直线与直线的位置关系是()

A、垂直；B、平行；C、重合；D、异面。

直线与平面的夹角是()

在空间直角坐标系中，下列方程表示椭圆的是()

直线族所形成的二次曲面是()

A、抛物柱面；B、双曲柱面；

C、椭圆抛物面；D、双曲抛物面。

经过两条抛物线和的二次曲面是()

A、椭圆抛物面；B、单叶双曲面；

C、双曲抛物面；D、双叶双曲面。

计算题（1、2、3、4每题10分，5题15分，共55分）。

在给定的直角坐标系中，求异面直线与之间的距离及公垂线方程。

在直角坐标系中，求经过以下两平面的交线，

且平行于轴的平面的方程，并求点到平面的距离。

设圆柱面的对称轴为

且已知点在该圆柱面上，求该圆柱面的方程。

求绕旋转的旋转面方程。

通过直角坐标变换或者二次曲线不变量把化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线。

证明题（5分）。

设等边边长为1，令,证明：。

华南农业大学期末考试试卷（A卷）参考答案

2006学年第1学期考试科目：解析几何

填空题（每空2分，共16分）。

6

二次锥面

或

。

选择题（每题3分，共24分）。

C、C、D、D、C；6.B、A、C.

计算题（1、2、3、4题每题7分，5、6题每题11分，共50分）。

解：分别过点,方向向量分别是

……3分

公垂线方向向量可以取…..……...4分

方程

即

………...…………7分

方程

即

……………..………10分

从而公垂线的方程为

……………..……10分

解：设经过

的平面族方程为

…………...……..4分

设

平行于轴，则…….………..6分

取,代入方程得。………..…………..……..8分

………..……..…10分

解：对称轴过点，方向向量

设是圆柱面上任意一点，则在上充要条件是

即

……….……..6分

代入计算得

整理得

.…..10分

解：母线，轴过点，方向向量

点在此旋转面上的充要条件为在某一条母线上，即存在母线上一点，使得在过点的纬圆上。因此6分

即

消去，得

………9分

消去，得

……….……10分

解法一：使用直角坐标坐标变换。设新旧坐标系同定向右手系。

先作转轴变换消去交叉项。选取转角使得它满足

……..…1分

解得，则

…………2分

于是

…………...4分

………….6分

因此转轴后的新方程是

….…….7分

转轴公式为

。（1）……...………..8分

配方得

…………...…..……..9分