2025高考数学二轮复习-函数与不等式31-40-专项训练【含答案】.docxVIP

（六）单调与值域综合问题

【例1】已知函数，若，，则（）

A.B.

C.D.与的大小不能确定

【答案】B

【解析】因为，所以，.

而的对称轴为,故知，即离对称轴的距离大于离对称轴的距离，从而有，故选B．

【例2】已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值为．

【答案】

【解析】由得得，则，故的最大值为.

【例3】设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由得，单调递增，则，即恒成立，则，得．故选．

【例4】已知函数，．设，，（表示，中的较大值，表示，中的较小值）记的最小值为，的最大值为，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】解出交点，即两个顶点处取得最值，如图：

令，得，即

解得，，则，

由题意知的最小值是，的最大值为.

故

故选.

【变式训练】

设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，则称为上的“调函数”．如果定义域是的函数为上的“调函数”，那么实数的取值范围是．

【例5】已知函数的图象过点，是否存在常数使不等式对一切实数都成立？

【解析】令得，所以，由得，，，即，，

，则，与联立得.

【变式训练】

已知二次函数满足条件：（1）当时，，且；（2）当时，；（3）在上的最小值为．求最大的，使得存在，只要，就有.

【例6】设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（）

A.B.C.D.不能确定

【答案】B

【解析】，，，解得（舍去）或，故选.

【例7】已知二次函数，记，若数列的前项和单调递增，则下列不等式总成立的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】，，即，由对称轴的横坐标小于得．故选．

【例8】已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分类讨论即可：或（时的图象开口向下，不可能），以下略．

【例9】设函数，，其中，若对任意，和至少有一个为非负值，则实数的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为，所以当，即时，

而

因为，

所以恒成立，

即恒成立，故．

结合选项可知，A正确，故选A．

【变式训练】

设函数，已知不论为何实数，恒有，.

（1）求的值；

（2）求实数的取值范围；

（3）规定：对于区间，若最小时，称区间最小，求函数在的值域区间最小时的解析式．

【拓展提升】

设函数，点和点都在的图象上，且，设，求的取值范围．

【例10】已知.

（1）若，，试确定两点，使的图象永远不过这两点；

（2）若，函数在上至少有一个零点，求的最小值．

【解析】（1），由得定点，．只要在图形，上任取两点，都能满足要求．

（2）由题意知在上有解．

改变主元，把看成平面内的动点，的最小值即为原点到直线的距离的平方的最小值．

，

令，，求其最小值即可.

令，（当且仅当，即时取等号），

所以的最小值为．

【例11】已知函数，．若在上单调递减，则下列结论正确的是.（填序号）

；；有最小值．

【答案】

【解析】图象可上下平移，故不定；所以结论不对；因为，所以条件即在时恒成立，于是得到结论错误，结论正确．

判断结论有以下思路：

思路1：，，利用线性规划即得．

记，考虑抛物线，如图中情形，取到最小值.

思路2：令，，注意到，而，再利

用即得．也即当恰好为的两个零点时，有最小值.

思路3：注意到的开口大小固定（因为前系数固定），而的最小值为，所以结论等价于“的最小值有最大值”，这显然是对的，当是的两个零点时，位置达到最高（不能再往轴正方向平移)，此时的最小值取到最大值．

二、对称与对偶

【例1】已知函数，，，求的值．

【解析】由于，故关于对称轴对称，而与也关于对称轴对称，所以．

【例2】已知函数，是方程的两根，且，则的大小顺序是什么？

【解析】结合图象（图略）分析即得．

【例3】已知函数，若，求的取值范围．

【解析】，，，解得.

【变式训练】

已知函数，若，则实数的取值范围是.

【例4】，若，则实数取值范围是（）

A.B.C.