2025高考数学二轮复习-函数与不等式151-160-专项训练【含答案】.docxVIP

【例11】已知实数满足，且，求的最小值.

【解析】令则.

当且仅当即即时取得等号.

【评注】在解决不等式问题时，如果分母里的字母较多较复杂，不妨考虑先换元化简分母，这样更容易看清题目的本质.这里其实是我们非常熟悉的一次和与倒数和的不等式应用，只是将等式转化为不等式时，注意检验等能否取到.

【例12】已知正数a,b满足则的最小值为

【答案】

【解析】令则所以,

故问题转化为分式函数求值域的问题.

易得当即时.

【例13】若实数满足则的最大值是

【答案】

【解析】令则

问题转变为求圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值，

故.

【例14】已知为正实数,且则的最小值是

【答案】

【解析】解法1：

解法2:令则，

则

【评注】换元法有助于简化问题，看穿本质.

【例15】已知正数满足则的最大值是

【答案】

【解析】解法1：

今得，

则

当且仅当即时取得等号.

解法2

令则

令则,

当且仅当，即时取得等号.

【例16】已知则的最大值是

【答案】

【解析】解法1:令则,

目标函数为

画出,点所在的可行域,如图，

目标函数与相切时则当且仅当，即时取得.

解法2:令则所以.

解法3:三角换元

令则

令则

故.

解法4：令，则，

【评注】解法4用的是不等式中的“极化恒等式”思想，即

【例17】已知为实数,且则的最小值是

【答案】

【解析】解法1：令，，则，且，

所以

解法2:齐次化,转化为函数求值域问题.

今则,

令

则

【例18】若正数满足则的最小值为

【答案】

【解析】解法1：分母复杂，采用换元法

令则问题等价于:已知求的最小值.

当且仅当即时取得等号.

解法2：齐次化

记视为线段上的点与坐标原点连线的斜率,

则

令,

【评注】解法2计算量很大，主要是题目设计数据的问题，但齐次化思路还是清晰的.

十二最值之最，合并再求

【例1】设则的最小值等于

A. B. $ $

【答案】B

【解析】设，则

上述六式相加得，

当时等号成立.故选.

【评注】求最大值的最小值，宜用最值叠加法.

变式训练

设则的最小值等于（）

A. B. C.

【例2】若求的最小值.

【解析】由题意得则

故

【例3】若求的最小值.

【解析】相加得

即当时等号成立.

【例4】设函数，若对任意的正数和实数，总存在，使得则实数的取值范围是

【答案】

【解析】解法1：由题意知，，

相加得，

故即.

解法2:设的最大值为令,

当时,函数单调递减,故.

因为所以.

由解得.

(1)若;

(2)若

(3)若

综上可得,即.

【例5】设二次函数,若对任意的实数,都存在实数使得不等式成立,则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由得，令，得，设当时,只有才能保证图象上下平移时,其绝对值不小于1.

否则当任意变化到使时,对任意的,（如图)

故原命题等价于

(1)当时，在上单调递增，

即

(2)当时，在上不一定单调，在上单调递减,在，上单调递增,所以当时在上单调递增;

当时在上单调递减,在上单调递增或

，解得

当时在上单调递减,此时解得.

综上得

【评注】另解:设,

则有

相加得恒成立,

即恒成立,

即恒成立,则

以上解法为何不对，请读者研究.

拓展提升

已知函数

(1)当时,求证：在(0,2)上是减函数

(2)若对任意的实数,都存在使得成立,求实数的取值范围.

【例6】记为两数的最大值,当正数变化时的最小值为

【答案】10

【解析】则相加得

所以

变式训练

定义为实数中较小的数.已知其中均为正实数,求的最大值.

【例7】设记中的最人数为，求的最小值.

【解析】,

所以，当时等号成立.

【例8】若的最大值为，求的最小值.

【解析】显然取到最小值时，二次函数的对称轴在之间.

因为，

故所以当时,等号成立.

所以的最小值为.

【例9】设函数若对一切恒成立,则的最小值为

【答案】

【解析】

令，

故

即或

由于故.

由图象得故.

【例10】设函数其中

(1)求使得等式成立的的取值范围

(2)(i)求的最小值

(ii)求在[0,6]上的最大值.

【解析】(1)由于故当时,

当时.

所以,使得等式成立的的取值范围为[2,2a].

(i)设函数,

则

所以由的定义知

即

(ii)当时,

当时

所以

拓展提升

设函数，记为函数的图像上的点到直线的距离的最大值，则的最小值是