2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何131-140-专项训练【含答案】.docxVIP

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【例33】已知直线与椭圆交于两点，求的最大值.

【解析】设，

联立方程，得.

整理得

【拓展提升】

1.直线交椭圆于两点，求的最大值.

【解析】解法1设，则.

解法用椭圆参数方程：设,

则

故所求最大值为.

十五、定斜率积，弦过定点

【例34】已知椭圆上一点，为椭圆上不同于点的两点，且，求证：直线过定点.

【解析】设直线的方程为：，代入椭圆得，

整理得

因为，所以

即

整理得

结合韦达定理并化简得,

从而，即

故或.

于是，即，即

令得定点

或

令得定点，即为点.

故直线过定点.

【评注】已知椭圆，点在椭圆上，为椭圆上的两点，且，则直线过定点.

【规律探索】

如图，过圆锥曲线上一点作互相垂直的直线，交曲线于两点，则直线必过定点.

【解析】已知，，，，

则

将坐标原点平移至点的位置，则，即

，即.

从而.

整理得

令,则

因为，所以，所以,

所以所以直线过定点.

还原坐标原点，得定点为,

即定点为.

更一般地，有：

定理已知是二次曲线上一点，过点作互相垂直的直线分别交于点，求证：直线过定点.

【解析】由点在曲线上，可得

将平面直角坐标系的原点平移到点的位置，得到坐标系，

则此时曲线的方程为，

也即

设直线与化齐次联立，

有

由，可得,

也即

因此直线恒过点.

换算到原坐标系,可得所求定点为.

【例35】已知椭圆，四点，中恰有三点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于两点.若直线与直线的斜率的和为，求证：直线过定点.

【分析】（1）根据两点关于轴对称，由椭圆的对称性可知经过两点.另外由知，不经过点，所以点在上，因此点在椭圆上，代入其标准方程，即可求出的方程；

(2)先设直线与直线的斜率分别为，再设直线的方程，当与轴垂直时，通过计算，不满足题意；再设，将代入，写出判别式，结合韦达定理，表示出，根据列出等式表示出和的关系，即可判断出直线恒过定点.

【解析】（1）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点.

又由知，不经过点，所以点在上.

因此解得

故的方程为.

（2）设直线与直线的斜率分别为.

如果与轴垂直设,

由题知，且，可得的坐标分别为，

则，得，不符合题设.

从而可设，将代入.

得

由题设可知

设，则

而

由题设，故.

即，解得.

当且仅当时,

故，即，所以直线过定点(2,-1).

【评注】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断，证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前，若题设中未告知斜率，则一定要讨论直线斜率不存在和存在的情况，接着的通法是联立方程组，求判别式,结合韦达定理,根据题设关系进行化简.

【例36】设为坐标原点，动点在椭圆：上，过点作轴的垂线，垂足为，点满足

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.求证：过点且垂直于的直线过的右焦点.

【分析】（1）设出点的坐标，利用得到点与点坐标之间的关系即可求得点的轨迹方程为.

（2）利用可得坐标关系，结合(1)中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论.

【解析】（1）设，则

由，得

因为点在上.所以.

因此点的轨迹方程为

（2）由题意知，设，

则

从而.

由，得

又由(1)知，故.

所以，即.

又过点存在唯一直线垂直于.

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

【规律探究】

求轨迹方程的常用方法有:

（1）直接法：直接利用条件建立之间的关系

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.

（4）代入（相关点）法：动点依赖于另一动点的变化而运动，常利用代入法求动点轨迹方程.

【拓展提升】

如图，已知椭圆：（）经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线上的射影依次是点.

（1）求椭圆的方程；

（2）连接，，试探求当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交

于定点？若是，请求出定点的坐标并给了证明；否则，请说明理由.

【解析】（1）由经过点得.

由离心率为，得，得

故椭圆的方程为：.

（2）当直线的斜率不存在时,直线轴,则为矩形.由对称性知，直线与相交于的中点.

由此猜想直线与相交于定点.

当直线的斜率存在时.

证明：设，直线的方程为

与椭圆的方程联立消去，得,

即.

故.

又因为，

当时，

即点在直线上.

同理可证，点在直线上.

所以,当直线的倾料角变化时,直线与相交于定点.

十六、尺规作图找特征点

【例37】如图，用直尺和圆规作图，找出椭圆的中心、顶点、焦点、对称轴、准线.

【例38】如图，用直尺和圆规作图，找出双曲线的中心、顶点、焦点、对称轴、渐近线、准线.

【例39】如图，用直尺和圆规作图