2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何141-150-专项训练【含答案】.docxVIP

【例44】若椭圆的离心率为直线与椭圆交于，点在椭圆上求椭圆的方程.

【解析】因为所以下面在一般情形下解:

如图3,设直线方程为

代入椭圆方程得.

即

代入椭圆圆方程得，

即

得

再把直线方程代入上式,得.

化简得

故

故

即.

【变式训练】

已知椭圆及其上两点A.B.

（1）若且，求证：点在椭圆上；

(2)若求的取值范围.

【拓展提升】

在平面直角坐标系中，设，是椭圆上的三点，若求证：线段的中点在椭圆上。

【解析】设，则

由得

因为是椭圆上一点,所以,

即

得

故又线段的中点的坐标为,

所以

从而线段的中点在椭圆上.

【例45】已知椭圆：的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆O相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左焦点为.右焦点为.直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；

（3）设与x轴交于点Q，不同的两点R.S在上，且满足.求的取值范围.

【解析】(1)由得

由直线与圆相切.得所以.

（2）由已知条件，得，即动点M到定点的距离等于它到直线：的距离.由抛物线的第二定义得点M的轨迹的方程是

(3)由(2),知.设

所

由得

因为化简得.

所以(当且仅当，即时等号成立).

因为

所以当,即时，

故的取值范围.

【例46】在平面直角坐标系中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设应，求实数t的值.

【解析】（1）设椭圆C的方程为。

由题意知，解得

因此椭圆C的方程为

(2)设,

由得.

整理得

解得

因为,所以.

故即

即

得,

得所以

【例47】已知直线与椭圆W:-相交于A，C两点，O是坐标原点.

(1)当点的坐标为(0,1),且四边形为菱形时,求的长;

(2)当点B在W上但不是W的顶点时,求证:四边形OABC不可能为菱形.

【解析】(1)因为四边形为菱形.所以与相互垂直平分.

可设，代入椭圆方程得，即。所以。

(2)假设四边形为菱形.

因为点不是的顶点,且所以

由消去并整理得:.

设则

所以的中点为.

因为为和的交点,且,所以直线的斜率为.

因为所与不垂直

所以四边形不是菱形与假设矛盾。

所以当点B不是的顶点时,四边形不可能是菱形.

【例48】儿知动点到直线的距离是它到点的距离的2倍.

(1)求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与轨迹交于两点.若是的中点,求直线的斜率.

【解析】(1)由于点到直线的距离是到点的距离的2倍,则

整理得

所以,动点的轨迹为椭圆,方程为.

(2)已知,设,由题知.

椭圆的上、下顶点坐标分别是和,经检验直线不经过这两点,即直线的斜率存在.

设直线方程为.

联立椭圆和直线方程,整理得:，

故

由得即得.

所以，直线的斜率.

【例49】设椭圆的左焦点为离心率为过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为的直线与椭圆交于两点，若求的值.

【解析】(1)设早知

过点且与轴垂直的直线为代入椭圆方程有,解得.

于是解得又从而

所以椭圆的方程为

(2)设,点,切由,得直线的方程为.

由方程组消去,整理得.

求解可得.

因为所以

由已知得,解得.

【例50】如图4，已知椭圆与的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为过原点且不与轴重合的直线与的四个交点按纵坐

标从大到小依次为记和的面积分别为和。

（1)当直线与轴重合时,若求的值；

（2)当变化吋,是否存在与坐标轴不重合的直线，使得请说明理由。

解析依题意可设椭圆和方程分别为。其中

（1）解法1如图5,若直线与轴重合,即直线的方程为,则所以.在和的方程中，分别令可得.

于是

若则化简得

由可解得

故当直线与轴重合时，若，则。

解法2如图5,若直线与轴重合，则

所以

若则化简得

由可解得

故当直线与轴重合时，若，则。

(2)解法1如图6,假设存在与坐标轴不重合的直线,使得.

根据对称性,不妨设直线点到直线的距

离分别为.

因为所以.

又所以即.

由对称性可知所以.

所以,

于是（1）

将的方程分别与的方程联立,可求得.

根据对称性可知，

于是