2025高考数学二轮复习-拉档提分数列01-10-专项训练【含答案】.docxVIP

第一章等差等比,题型梳理

—、等差数列,经典题例

1、紧扣定义，活用公式

【例1】设是等差数列，前项和为，已知，，若,求的值.

【解析】设等差数列的公差为，由，，，得方程组，

解得，，故

由，，得方程

解得或（舍）,所以.

【评注】本题用一般通项公式解更快捷：

【概念梳理】等差数列的通项公式：

，

；

公差公式：，且当时，是一个一次函数.

【例2】设，数列是公差不为零的等差数列，且，则.

【答案】21

【解析】由题设知，

，

因为是奇函数，所以有对称性，

又，所以，

故有

【评注】抓住奇函数及等差数列的性质特征是破解关键.

【变式训练】

已知数列中，，，若是等差数列，则等于（）

A. B. C. D.

2、等差和式，形式多变

【例3】已知数列是等差数列，，，则此数列的前20项和等于（）.

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为是等差数列，所以，

又，，

所以，

所以

所以，故选B.

【评注】灵活运用等差数列的性质.

【规律探索】等差数列中，如果，则，特别的，当时，，是的等差中项.

【例4】已知一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和.

【解析】解法1：由等差数列性质知：成等差数列，

设其公差为则其数列前10项的和为：，

即将代入上式得，

故

解法2：由于，，

则，又，

故

解法3：设数列的公差为，

由于，

故数列是等差数列，公差为

则，且，

将已知数值代入上式，消去，可得

解法4：设等差数列的前项和为

由，，得，解得，

则

故，

【规律探索】①等差数列等距和仍成等差数列，即等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.

②若是等差数列，公差为，则是公差为的等差数列.

【变式训练】

设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和，且满足

（1）若，求及；

（2）求的取值范围.

【例5】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差为.

【答案】5

【解析】，

由题设得：，

即，

所以，

所以所以

【评注】（1）等差数列的奇数项和与偶数项和有重要性质：

（2）本题巧妙运用合分比定理使运算简捷快速.

【变式训练】

1、一个等差数列共有项，其奇数项之和为305，偶数项之和为276，则此数列第项为（）

A. B. C. D.

2、一个等差数列共有10项，其偶数项之和为15，奇数项之和为12.5，，则它的首项与公差分别是（）

A. B. C. D.

3、等差性质，灵活运用

【例6】已知数列是等差数列.

若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求；

若，，求；

若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数.

【解析】（1）依题意知，，

所以，所以

因为

（2）因为成等差数列。所以

（3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为，则，，所以，中间项为，项数为7项.

【评注】等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.对称项倒序和是破招要领.

【规律探索】①；

②若是偶数，则；

③若是奇数，则（中间项）

【例7】若等差数列、的前项和分别是，且，则的值为（）.

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】设数列、的公差分别是，

则，故选C.

【评注】灵活运用等差数列求和公式很重要，学会变式运用.

【规律探索】若和均为等差数列，且前项和分别是与，则

【变式训练】

1、已知两等差数列、的前项和分别是与，且，则的值为（）

A. B. C. D.

2、已知两等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为（）

A. B. C. D.

4、和式特征，二次函数

【例8】设等差数列的前项和是，已知，，.

（1）求公差的取值范围；

（2）指出中哪一个值最大，并说明理由.

【解析】（1）设数列的首项为，公差为，由已知有

将代入两个不等式，消去得解得

（2）解法1：由

由（1）知，，可知，

所以中最大的是

解法2：，，得，所以