2025高考数学二轮复习-拉档提分数列91-100-专项训练【含答案】.docxVIP

高考数学拉档提分全攻略（数列）

高考数学拉档提分全攻略（数列）

]2—

【评注】不动.

关注三种不同的放缩技巧：

(1)(放缩范围大)；

(2)(放缩范围中);

(3(放缩范围小)

引申2:求证.

【解析】放缩技巧4:因为,

则

所以

【评注】，不动.

【变式训练】

设求证

【例4】求证.

【解析】放缩技巧5:因为

则,

所以

【评注】不动.

【例5】(1)求证

(2)求证;

(3)求证:.

【解析】

(1)因为,则,所以

(2)因为,

则,

所以

(3)因为,

则,

所以

(3)因为.

则,

【例6】求证：

【解析】因为,

则

所以

【评注】不动.

【例7】(1)已知求证：

(1)

(2).

【解析】(1)因为,

所以

【评注】不动.

(2)因为,

所以

【评注】对称放缩且不动.

【规律探索】对称放缩且通项加减公差的一半是放缩幅度最小的.设｛｝是等差数列,公差为，则是最小放缩.

【例8】已知,求证

(2)已知求证:

(3)已知求证.

【解析】(1)因为,

则,

所以

(2)因为,

则

所以

(3)因为

所以.

【例9】求证：

(2)已知求证:

【解析】

另解:

(2)

【拓展提升】

已知在正项数列中，，其前项和满足

（1）求与;

(2)令数列的前项和为求证:对于任意的,都有.

四数列和式之单调放缩

【例1】设，试比较与的大小

【解析】记函数,

所以,

则

所以

由于此时

此时;

此时

由于,故时,此时.

综上所述,当时当时

另解

当时所以

拓展：

综上得

【例2】若求证:

【解析】

因为单调递增,所以用定积分，得

综上知成立.

【变式训练】

使不等式对一切都成立的最小正整数的值-----

【例3】已知若对一切均成立,求的最大值.------

【解析】设

则且对恒成立

由,

即，在上为单调递增函数，故

因此,即的最大值为.

【变式训练】

已知在数列中求证:

(1)是递增数列

(2)

【拓展提高】

等比数列的前项和为,已知对任意的点均在函数且.均为常数)的图象上.

(1)求的值

(2)当时,记求证:对任意的.不等式成立

五、不求通项之裂项放缩

【例1】已知在数列中，在数列中，求证:

【解析】由，及数学归纳法知

因为所以,

所以即

又所以

所以

【变式训练】

已知在正项数列中设是数列的前项和,求证:

【例2】已知数列各项均为正数且对任意的有

(1)求的值;

(2)若是否存在使得若存在,试求出的是小值;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为

所以即

累加得,

所以

可得

(2)因为

所以单调递增，得，

由得.

则

因为

所以，解得

此时，,

又因为

所以,

解得.

即数列满足

综上所述,存在符合题意的使得,且的最小值为2018.

【例3】已知函数的反函数为

(1)已知数列满足求数列的通项公式;

(2)已知数列满足求证:对一切有

【解析】(1)由得则,

即.

则所以.

(2)由得

，，

原式.

又.

故原式

综上知待证不等式成立.

【例4】已知数列满足

(1)求证:数列为单调递减数列

(2)记为的前项和,求证.

(1)证法1:由*及数学归纳法知,则即数列单调递减.

证法2:用不动点法求出通项.

由得即得,

当为奇数时,,

当为偶数时,

所以数列为单调递减数列.

说明:设则从而

(2)证法

,

由(1)得

当时.

当时

所以，中，一个在上，另一个在上

所以

所以.

【评注】由得,

所以

证法2:因为所以当时,，

得故

因为,

故

所以.

【例5】已知数列满足且

(1)

(2)

【解析】(1)由于由数学归纳法可证

所以,

进而得

(2)由(1)知

则

而