高中数学向量数量积物理背景与定义课件新人教版必修.pptx

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

复习回顾x1+x2y1+y2x1-x2y1-y2λx1λy11、若向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)则向量a+b=（，）向量a-b=（，）向量λa=（，）

2、若已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)则向量AB=（，）x2–x1y2-y13、向量a、b（b≠0）共线的充要条件是什么？a=λb若a=(x1,y1)b=(x2,y2)，则共线的充要条件是什么？x1y2-x2y1=0

如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOAθFFθSW=│F││S│COSθ一.力做功的计算

二.两个向量的夹角baOAOB已知两个非零向量a、b，=a，=b.则∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作a，b.并规定0≤a，b≤πBOA

（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（2）〈a，b〉=〈b，a〉；（3）范围0≤〈a，b〉≤π；（4）〈a，b〉=0时,a、b同向；〈a，b〉=π时，a、b反向；〈a，b〉=90°时，a⊥b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.几点说明

如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！练习1

三.向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.OA11OA

（2）正射影的数量：向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有

1.a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当?为锐角时，数量为正值；3.当?为钝角时，数量为负值；4.当?为直角时，数量为0；5.当?=0?时，数量为|a|；6.当?=180?时，数量为?|a|.几点说明alxlOA2O1A1alaa

例1.已知轴l（1）.向量︱OA︱=5,＜OA,l＞=60°,求OA在上的正射影的数量OA1（2）.向量︱OB︱=5,＜OB,l＞=120°,求OB在l上的正射影的数量OB1(3)已知向量a,b,向量|a|=4,a,b=600,则向量a在向量b上的正射影的数量解：4cos600=2解：OA1=5COS600=5×(?)=5/2-5/2

四.向量的数量积（内积）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b. 即a·b=

1．数量积a?b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos?的乘积.几点说明

2．两个向量的数量积是一个实数，符号由cos〈a，b〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。OABabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4.a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．

两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b的单位向量.1.e?a=a?e=|a|cos?;2.a?b?a?b=03.a?a=|a|2或4.cos?=；5.|a?b|≤|a|.|b|.内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状

例2.已知|a|=5，|b|=4，a,b=120°，求a·b.解：a?b=|a|·|b|cosa,b=5×4×cos120°=－10.

练习2已知|a|＝３，|b|＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b①a∥b时，a·b=±18；②a⊥b时，a·b=0；③a与b的夹角是60°时，a·b=9.