2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量31-40-专项训练【含答案】.docxVIP

四、与周期相关的问题

【例27】若存在实数使得圆内恰有的3个最值点(最大值或最小值)，求正数的取值范围。

【解析】由题意知得。

由于要存在使得圆内恰有的3个最值点,只要如图，故。

【评注】本题题设中的“存在”若改为“任意”，则只要.

【例28】已知函数在上能取到最大值，求的取值范围.

【解析】当时，有即得,

当时，有即得,

综上得.

【评注】考虑与区间端点的关系.

【变式训练】

已知函数在上单调,求的取值范围.

【例29】若函数在区间上至少取得2个最大值,则正整数的最小值是。

【答案】8

【解析】由知该函数在区间上至少取得2个最大值，则得故正整数的最小值为8.

【拓展提升】

已知函数其中常数

(1)若在上单调递增,求的取值范围;

(2)令,将函数的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数的图象，且满足在区间且上至少有30个零点，在所有满足上述条件的中,求的最小值.

【例30】将函数的图象与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积.已知函数在上的面积为.

(1)在上的面积为；

(2)在上的面积为。

【答案】.

【解析】(1)因为,所以所求面积为.

(2)需要求面积的区域如图中阴影部分，割补即可求得面积为.

【例31】函数的最小正周期是（）.

A.B.C.D.

【答案】

【解析】.

由于的零点不在平衡位置，因而周期不变，仍是故选B.

五、单调性相关的问题

【例32】函数的单调递增区间是。

【答案】

【解析】找出所有的最值点和零点即可.

，

令，

若则

若则

令则得；

令则得以上

由此得单调递增区间为：

。

【例33】关于函数有以下三种说法:

①图象的对称中心是点;

②图像的对称轴是直线;

③函数的最小正周期是.

其中正确的说法是（）

A.①②③B.②③C.①③D.③

【答案】

【解析】图象的对称中心是图象的对称轴是直线函数的最小正周期是易知①②均错，③对，故选D.

【例34】已知函数求函数的单调递减区间.

【解析】,

令得

令得

结合函数的单调性，知的单调弟减区间为

【变式训练】

已知函数求函数的单调递减区间.

六、值域相关的问题

【例35】若求的最大值和最小值.

【解析】令易知

则

所以.

【例36】已知函数若关于的方程在区间上有解，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】C.

【解析】令

得故选.

【例37】已知函数当时，函数的值域为。

【答案】

【解析】

【变式训练】

已知函数当时，函数的值域为。

七、是非判断问题

【例38】关于函数有下列命题：

①由可得是的整数倍;

②的解析式可改写为;

③的图象关于点对称;

④的图象关于直线对称;

其中声确命题的序号是。

【答案】②③

【解析】①由可得是半周期的整数倍，错；

②的解析式可改写为对;

③，所以的图象关于点对称,对；

④由③知该命题错.

所以正确命题的序号是②③.

【例39】关于函数有下列命题：

(1)图象关于原点中心对称;

(2)图象关于直线轴对称;

(3)图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到;

(4)图象向左平移个单位长度,即得到函数的图象.

其中正确命题的序号是。

【答案】(2)(4)

【解析】(1)因为所以图象关于原点不成中心对称，错;

(2)由于,所以终象关于直线轴对称,对；

(3)由函数的图象向左平移个单位长度得到的是的图象,错；

(4)的图象向左平移个单位长度，

即得到函数的图象,对.

所以正确命题的序号是(2)(4).

【例40】有下列命题:

(1)函数的最小正周期是

(2)终边在轴上