2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量211-220-专项训练【含答案】.docxVIP

其中

显然不共线，由平面向量基本定理，可设,

则有

因为,

所以即

若是的内心,则

故或

必要性得证.

还可进一步得到以下结论.

若是的重心，

则故

若是的外心，则

故

若是非直角三角形)的垂心，则

故

【证明】如图

四点共圆).同理，有:

因此只需证

先证

四点共圆和为的补角；四点共圆和为的补角),所以待证式成立.

同理可证连等式成立,原命题得证.

【评注】该证明可谓一箭四雕.需要提醒的是,这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件,充分性并未证明.

3.外心

在锐角三角形中,是外心,则有:

从而

又

故

4.垂心

当垂心在内部时，有以下结论.

(1)是的垂心.

[证明]由

得故

同理,故是的垂心.

(2)是的垂心.

[证明]因为垂心H在内部,四点共圆,如图

所以

所以

同理

所以

(3)是的垂心.

[证明]

即

同理可证故是的垂心.

四、”四心”轨迹的向量特征形式

在中是不同于三角形顶点的一点,内角所对的边分别为

(1)则点的轨迹过内心.

(2)若则点的轨迹过垂心.

(3)若则点的轨迹过重心

(4)若则点的轨迹过外心.

(5)设为所在平面内任意一点,为的内心,则内心的坐标为

五、”四心”轨迹向量形式的证明

在中,是不同于三角形顶点的一点.

(1)若则点的轨迹过内心.

[证明]因为

所以以下略.

(2)若则点的轨迹过垂心.

[证明]

从而以下略.

(3)若则点的轨迹过重心.

[证明]

其中为外接圆的半径.以下略.

(4)若则点的轨迹过外心.

[证明]如图,设为外心,则,

设则

所以三点共线.以下略.

注：

为定值

（5）设为所在平面内任意一点,为的内心则内心的坐标为

[证明]是的内心其中是的三边，详见内心的充要条件的证明.。

则

六、三角形重心的坐标形式及推广

设为内一点,则为的重心为任意点)

特别地：为的重心.

推广：为边形的重心.

直角坐标形式下的三角形重心公式:

若点与原点重合,则重心坐标为举例如下.

若的三边中点分别为则的重心的坐标为。

该题答案为

七、三角形欧拉线的由来及证明

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一条直线上,这条直线称为三角形的欧拉线.

【例1】在中,已知分别是三角形的外心、重心、垂心,求证：

三点共线且

[解析]证法1:平面几何法I

如图,分别是的垂心、重心、外心，

连结作的外接圆，直径为BOD，再连结DC,则(1)(2).

因为为的垂心,所以(3)(4.)

由(1)(3)可知,

由(2)(4)可知,

故四边形为平行四边形,所以因为与分别是的中点,所以即作边上的中线连结设交于点因为

所以因此即的重心,故的垂心、重心和外心三点共线,直线即是欧拉线。

【评注】也可将垂心，外心作为已知条件,证明中线与的交点为重心.证法2:平面几何法=2\*ROMANII

设分别为的垂心、重心、外心，

如图，连结并廷长交于点,则可知为的中点.

连结OD，又因为为外心,所以连结并延长交于点因为为垂心，所以所以,有

由于为重心,则

连结并延长交于点则可知为的中点.

同理得所以有.连结有且有.因为所以

又

相减可得

所以有所以.

又所以

又所以

所以即三点共线.

证法3:向量法

设分别为的垂心、重心、外心.

(1)先证明:若为外心,为垂心,则如图，

作直径连结有故故是平行四边形，从而

故

(2)再证明:若为外心为重心,则.

因为是的重心，所以即

由此可得反之亦然,证明讨程略.

所以

所以三点共线.

证法4:向量坐标法

以为原点,所在的直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

设分别为的中点,则有:

易知

可设

则

所以

因为，

所以

得,

所以,

故O,G,H三点共线,且.

证法5:向量点乘法

如图，O为外心，G为重心，H为垂心。

因为,

所以

又因为

所以O.G.H三点共线,且

【评注】本例用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理都比较麻烦,而借用向量的坐标形式，可将向量的运算完全化为代数运算,这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起,从而很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明,都可转化为熟悉的代数运算.而证法5更是巧妙地利用了向量点乘,使运算更加简捷.

八、与“四心