对坐标的曲线积分.pptVIP

10.2第二类(对坐标)的曲线积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分*curvilinearintegral10.2第二类(对坐标)的问题的提出对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算两类曲线积分之间的关系小结思考题作业第10章曲线积分与曲面积分coordinates曲线积分*变力沿曲线所作的功常力沿直线所作的功分割实例一、问题的提出元素法*求和取极限取近似取即近似值精确值*二、对坐标的曲线积分的概念与性质1.定义设L为xOy面内从点A到点B的一条用L上的点:把L分成n个有向小弧段有向光滑曲线弧,函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.上任意取定的点.定义10.2*如果当各小段长度的最大值的极限总存在,记作则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上或称第二类曲线积分.对坐标x的曲线积分,即类似地定义称Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分.积分弧段被积函数*2.存在条件当P(x,y),Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上则第二类连续(或在L上只有有限个间断点,并且有界),曲线积分存在.以后总假定P(x,y),Q(x,y)在L上连续.*3.组合形式点积形式其中有向曲线元向量形式为向量值函数,*4.物理意义⌒⌒⌒有向曲线元⌒沿AB所作的功W*空间有向曲线弧Γ,5.推广*6.性质性质1假设向量值函数在曲线L上连续.向量形式*LL1L2若把有向曲线弧L分成两段光滑的有向性质2曲线弧L1和L2,则相反的有向曲线弧,则设L是有向光滑曲线弧,性质3对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.-L是与L方向*补充在分析问题和算题时常用对称性质.L在上半平面部分与下半平面部分P(x,y)为P(x,y)为其中L1是曲线L的上半平面的部分.类似地,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段光滑的,关于的走向相反时,则x轴对称,y的偶函数,y的奇函数的讨论也有相应的结论.对*取逆时针方向.将原式分成两部分,即添加标题例添加标题其中ABCDA为添加标题解添加标题曲线关于添加标题的走向与L在下半部分的走向相反,添加标题被积函数为添加标题利用对称性质.添加标题L在上半部分添加标题x轴对称,添加标题y的偶函数.添加标题原式添加标题*曲线关于L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为所以,y轴对称,x的偶函数.*对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算因此下限应是起点的坐标,上限是终点的坐标.解法化为参变量的定积分计算*定理10.3且连续,且设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B,为端点的闭区间上具有一阶连续当参数t单调地由导数,则曲线积分证先证*设分点xi对应参数ti,由定义01由于02因为L为光滑弧,03所以04同理可证05拉格朗日中值定理06*特殊情形(1)(2)则则x起点为a,终点为by起点为c,终点为d,*推广*例解⌒⌒(1)化为对x的积分*(2)化为对y的积分#2022*其中Γ是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.直线AB的方程为解化成参数式方程为于是例A点对应B点对应*例(1)L是上半圆周反时针方向;解A点对应(2)L是x轴上由点到点的线段.(1)中L的参数方程为B点对应其中原式=*其中原式=(2)L的方程为(2)L是x轴上由点到点的线段.*则曲线积分设L为圆周在第一象限中的部分的值为().解设L的参数方程为(逆时针方向),10.2第二类(对坐标)的曲线积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分10.2第二类(对坐标)的曲线积分