2020年高中数学必修2同步练习234 平面与平面垂直的性质含答案解析.pdf

2.3.4平面与平面垂直的性质

课时过关能力提升·

一、基础巩固

1.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则()

A.a⊂αB.a∥α

C.a⊥αD.a⊂α或a∥α

答案:D

2.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()

A.PD⊂平面ABC

B.PD⊥平面ABC

C.PD与平面ABC相交但不垂直

D.PD∥平面ABC

解析:因为PA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面

ABC.

答案:B

3.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是

()

A.异面B.相交但不垂直

C.平行D.相交且垂直

∵

解析:α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,

∴∴

n⊥α.又m⊥α,m∥n.

答案:C

4.如图,点P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则

下列结论不一定成立的是()

A.PE⊥AC

B.PE⊥BC

C.平面PBE⊥平面ABCD

D.平面PBE⊥平面PAD

解析:因为PA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩

平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以选项A,B成立.又

PE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以选项C成立.故选D.

答案:D

5.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直,且BC=2,则三棱锥A-BCD

的体积为()

A.1B.3C.2D.23

√√

解析:取BC的中点E,连接AE.因为△ABC为等边三角形,所以AE⊥BC.

因为平面ABC⊥平面BCD,所以AE⊥平面BDC.

11√3

××4×3=1.

所以V=·AE=√

A-BCDBCD

3△34

答案:A

6.如图,沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,

得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是.

答案:垂直

7.如图,平面α⊥平面β,平面α∩平面β=AB,A∈α,B∈β,AA⊥AB,BB⊥AB,且

AA=3,BB=4,AB=2,则三棱锥A-ABB的体积V=.

∵

解析:α⊥β,α∩β=AB,AA⊂α,AA⊥AB,

∴AA⊥β.

11111

∴V=△ABB·AA=·(·)·AA=××2×4×3=4.

33232

答案:4

8.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD为

三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=.

解析:如图,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.

因为△PAD是等边三角形,

所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,

所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ.

在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,

所以∠PBG=45°,即θ=45°.

答案:45°

9.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,

BC=2,AC=3.

(1)求证:BF⊥平面ACFD;

(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.

(1)证明:如图,延长AD,BE,CF相交于一点K.

因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥