2025年数形结合思想 .pdfVIP

丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。——杜甫

数形结合思想

提要

数形结合是研究数学问题的有效途径和重要策略，它体现了数学

的和谐美，统一美。数，式能反映图形的准确性，图形能增强数，式

的直观性。我国著名数学家华罗庚曾概况：“数与形，本是相倚依，

焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般

好，割裂分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分

离。”

知识全解

一．数形结合思想的概念

数形结合思想是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，使

数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解

题思路，使问题得到解决。

将“数”字化为图“形”，或能从“图”形中获取有用的解题

“数”字，是数形结合思想的关键所在。

二．数形结合思想的解题策略

利用数学结合思想解题的关键是明确“数”，“形”之间的紧密

联系，“数”问题可利用“形”去解决，“形”的问题可利用“数”

去解决。

注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质

的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性

质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简

便易行的成功方案。

博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。——《礼记》

三．学法指导

类型1利用数轴将代数问题转化成几何图形问题

例1已知a0，b0，且lbla，试比较a,-a,b,-b的大小

【解析】若直接比较上述4个数的大小有一定的难度；若用特殊

值法，是可以比较它们的大小关系的；若把它们在数轴上表示出来，

利用数轴的直观性，它们的大小关系将一目了然。

∵a0,b0，∴在数轴上表示数a,b的点分布在原点的右边和左边

∵lbla，∴表示数a的点到原点的距离小于数b的点到原点的距

离

故a,-a,b,-b这4个数在数轴上的排列顺序如下图所示

观察数轴可知b-aa-b

【点评】数a表示实数，可以是正数、零，也可以是负数。不能

认为a一定是正敷，-a一定是负数

类型2利用几何模型将代数问题转化成几何图形问题

【点评】本题若直接计算则非常繁杂，通过构造图形，利用形的

直观性一目了然即可求解

类型3利用函数图像将代数问题转化为几何图形问题

例3已知反比例函数，y=2/x及一次函数y=-3/4x+7/2，求以这

臣心一片磁针石，不指南方不肯休。——文天祥

两个函数图形的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积。

【解析】

可得到两个函数图像的交点为A（2/3，3），B（4，1/2）

如果直接求△ABO的三条边长再求面积，则运算非常烦琐。

如图所示

结合图像可以把复杂的运算转化为简单的几何问题：

直线y=-3/4x+7/2与x轴的交点为C（14/3，0）

∴S△ABO=S△ACO-S△BCO=1/2×14/3×3-1/2×14/3

×1/2=1/2×14/3×(3-1/2)=35/6

【点评】本题利用函数图像，将△ABO的面积转化为△ACO的面