2025届高中数学三轮冲刺练习证明性、探究性问题.docxVIP

微专题45证明性、探究性问题

[考情分析]圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，证明性、探究性问题是常见的热点题型，常以解答题的形式压轴出现，难度较大.

高频考点练习

微点一圆锥曲线的证明性问题

1.(17分)如图，已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(

(1)求椭圆Γ的方程；(5分)

(2)已知直线x=1与x轴交于点M，过点M的直线AB与Γ交于A，B两点，点P为直线x=1上任意一点，设直线AB与直线x=4交于点N，记PA，PB，PN的斜率分别为k1，k2，k0，求证：k1+k2=2k0.(12分)

2.(17分)(2023·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，12的距离，记动点P的轨迹为

(1)求W的方程；(5分)

(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.(12分)

微点二圆锥曲线的探究性问题

3.(17分)(2024·桂林模拟)双曲线C：x24-y2b2=1(b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为60°的直线为l1，过点F2且倾斜角为60°的直线为l2，已知l1，

(1)求C的方程；(5分)

(2)若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于M，N两点(点M，N不在x轴上)，判断是否存在实数k使得||MF2|-|NF2||=k|MF2||NF2|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.(12分)

4.(17分)(2024·邵阳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，A(-2，0)，B(2，0).P为平面内一动点，且直线PA与PB的斜率乘积为-34，动点P在平面Oxy内的轨迹为曲线

(1)求曲线T的方程；(5分)

(2)若点Q为直线x=4上任意一点，直线QA，QB分别交曲线T于点M，N.在直线MN上存在一点H，且AH⊥MN.问：在平面Oxy内是否存在一点E，使得|EH|为定值？若存在，求出定值；若不存在，请说明理由.(12分)

[总结提升]

证明性问题主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.

存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.注意：当结论或条件不唯一时，要分类讨论.

强化练习

1.(17分)(2024·宜宾模拟)已知椭圆E：x25+y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：y=-89x上不同于原点O的一个动点，斜率为k1的直线PF1与椭圆E交于A，B两点，斜率为k2的直线PF2与椭圆E

(1)求1k1+

(2)是否存在点P，满足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.(kOA，kOB，kOC，kOD分别为直线OA，OB，OC，OD的斜率)(10分)

2.(17分)(2024·沧州模拟)已知双曲线C：x24-y2b2=1(b1)的左焦点为F(-c，0)，经过点F的直线l交双曲线于点A，B，当直线l

(1)求双曲线C的标准方程；(7分)

(2)已知点D(m，n)，直线mx-ny-8=0与双曲线C交于E，G两点，且△DEG的面积为43，证明：点D在双曲线C

3.(17分)(2024·武汉模拟)已知抛物线E：x2=2py(p0)的焦点为F，H为E上任意一点，且|HF|的最小值为1.

(1)求抛物线E的方程；(5分)

(2)已知P为平面上一动点，且过点P能向E作两条切线，切点为M，N，记直线PM，PN，PF的斜率分别为k1，k2，k3，且满足1k1+1k

①求点P的轨迹方程；(6分)

②试探究：是否存在一个圆心为Q(0，λ)(λ0)，半径为1的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线l1，l2，切线l1，l2分别交抛物线E于不同的两点A(s1，t1)，B(s2，t2)和点C(s3，t3)，D(s4，t4)，且s1s2s3s4为定值？若存在，求圆Q的方程；若不存在，说明理由.(6分)

答案精析

高频考点练

1.(1)解由条件可得c

解得a

故椭圆Γ的方程为x24+y

(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1，t)，若直线AB与x轴不重合，

设直线AB的方程为x=my+1，

则N4，3m，k0=

将直线AB的方程代入椭圆方程整理得(m2+4)y2+2my-3=0，

显然Δ0，

则y1+y2=-2m

y1y2=-3m

k1+k2=t?y11?x1+t

=?t·?2mm2+4+2·?3

若直线AB与x轴重合，

则B(-2，0)，A(2，0)，N(4，0)，

此时k1+k2=t?1+t3=-2

k0=-