2025高考数学二轮复习-函数与不等式121-130-专项训练【含答案】.docxVIP

(2)当时.

若则在上非负仅当时故函数在上是增函数,此时.

若则当时当时此时是减函数；当时此时是增函数.故.

若则在上非正仅当时故函数在上是减函数,此时.

综上可知,当时的最小值为1，相应的值为1;当时的最小值为

相应的值为当时的最小值为相应的值为

（3）参数分离法

不等式可化为

因为所以且等号不能同时取到,所以即,

因而

令则

当时，

从而（仅当x＝1时取等号）,所以在［1,e］上为增函数,

故的最小值为所以a的取值范围是［—1’+∞）.

师展提升

已知存在满足α，β，α+β均为锐角的α，β使得方程sin

第六章最值求法，二十新招

一、齐次根式，多管齐下

根式下一次型的函数最值

[例1]求函数的值域.

[解析]在定义域上单调递增,.

[例2]求函数的值域.

[解析]

,故.

[例3]求函数的值域.

[解析]用柯西不等式法无效，用单调性法有效。

在定义域上单调递增，,

[例4]的值域.

[解析]用柯西不等式法无效，用单调性法也无效，可以换元突破。

令其中在定义域上单调递增,故。

变式求函数的值域.

[解析]尝试使用柯西不等式：令

令则柯西不等式无效。

用双变元换元一定成功。

令则

目标函数为如图，由线性规划知

变式训练

求函数的值域。

求函数的值域。

求函数的值域。

(二)根式下二次型的函数最值

[例1]求函数的值域.

[解析]解法1:三角换元法

令则故.

解法2:柯西不等式法

即

解法3:线性规划法

令则,

可得.

变式训练

求函数的值域.

2.求函数的值域.

[例2]求函数的值域。

[解析]令则在定义域上单调递增。将端点代入，

变式训练

求函数的值域。

[例3]求函数的值域。

[解析]柯西不等式法

.

用端点代入检验，当时,

当时,

所以。

变式训练

求函数的值域.

[例4]求函数的值域.

[解析]分类单调性分析法

当时单调递增;

当时单调递减.

故.

[例5]求函数的值域.

[解析]线性规划法

令得

作图即得图略。

[例6]求函数的值域.

[解析]当时，单调递增，

当时，单调递减，

故

变式训练

求函数的值域。

求函数的值域。

[例7]求函数的值域。

[解析]令则所以整理得

令得即

故

[例8]求函数的值域。

[解析]令故

变式训练

求函数的值域。

[例9]求函数的最大值.

[解析]当时

达到最大值.

[评注]用柯西不等式法快速简捷。

变式训练

求函数的最大值.

[例10]求函数的值域.

[解析]解法1：端点分析法

当时当时,

原函数可化为令得故.

解法2:双元换元法

令则，

由图(图略)可知.

变式训练

求函数的值域。

求函数的值域。

求函数的值域。

求函数的值域。

扩展提升

求函数的值域。

二、绝对最值，数轴破招

(一)二次根式型

[例1]求函数的值域.

[解析].

[评注]由绝对的意义知为动点到2的距离为动点到-8的距离.

[例2]求函数的值域.

[解析]

[评注]当时取到最小值.

[例3]求函数的值域.

[解析].

[例4]求函数的值域.

[解析]

[评注]问题转化为动点与点两点的距离之和最小，

当点与点重合时取到最小值，为.

[例5]求函数的值域.

[解析]

[评注]问题转化为动点到点两点的距高之差最小或最大.

当点与点重合时，取到最大值；当点趋向于正无穷时，最小值为-10(取不到).

[例6]求函数的值域.

[解析],

问题转化为动点到点两点的距离之和最小.

所以即

[例7]求函数的值域.

[解析],

问题转化为动点到点两点的距离之差最小或最大，

当三点共线时最小,所以,

当点趋向于负无穷时,最大值为取不到).故.

变式训练

求函数的值域.

求函数的值域.

扩展提升

若函数存在零点,求实数的取值范围.

2.已知正实数满足则的最小值为

A.B.C.2D.

(二)绝对值型的函数最值

[例1]求函数的值域.

[解析]当时达最小值,故

[例2]已知函数的最小值为3,求的取值范围.

[解析]当时达最小值3,解得或

[例3]已知函数恒成立,求的取值范围.

[解析]当时达最小值3,

即,解得

扩展提升

求的最小值,并求取得最小值时的值.

[例4]求函数的