2025高考数学二轮复习-函数与不等式131-140-专项训练【含答案】.docxVIP

解析用柯西不等式.

得

[例2]求函数的值域.

[解析]用柯西不等式.

得

I例3]求函数的值域.

[解析]用柯西不等式.

得

变式训练

求函数的值域.

【例4】求的最小值,并求取得最值时的值.

【解析】用柯西不等式.

则此时.

【例5】求函数的最值

【解析】

今则.

【例6】求函数的取值范围.

【解析】令则则,

(四)二次分式和积型

【例1】求函数的值域

令

则

【例2】求函数的值域

【解析】

令则

故

【例3】的值域

【解析】故

(五)二次整式和积型

【例1】函数的值域为__________

【答案】

【解析】令,则

故

【例2】函数的值域为____________

【解析】

令则

【例3】求函数的值域

【答案】

【例4】求函数的最大值

【解析】

,故的最大值为.

(六)二次分式复合型

【例1】求函数的最小值

【解析】

（当时）

今则

当时故的最小值为

（七）二次分式对勾型

【例1】的值域.

【解析】可知单调递减，代入端点得

(八)二次整式型

【例1】的值域

【解析】I

四、二次分式,函数最值

I【例1】求函数的值域.

【解析】三种方法:分拆法’换元法’判别式法（△≥0）.

分拆法:

$

换元法:

判别式法:

由得,

故

【评注】本题三种解法都具有代表性,但判别式法需要验证分母为零的端点.

【例2】求函数的值域

【答案】

【评注】分拆法、换元法均可，判别式法不可用.因为它有范国.

变式训续

求函数的值域.

2.求函数的值域.

3.求函数的值域.

4.求函数的值域.

5.求函数的值域

【例3】.求函数的值域

【解析】分拆法、换元法、判别式法均可.

令其中

【例4】求函数的值域

【解析】分拆法、换元法均可.

今

令时时故.

变式训纸

求函数的值城.

【例5】已知则函数的最小值为（）

B.D.

【答案】B

【解析】

故选.

(例6)函数的值域为

【答案】

【解析】

是定义域上的增函数,代入端,点值可得值域为.

【例7】若则的最小值为____________

【答案】

【解析】(前一个等号成立条件是后一个等号成立条件是两个等号可以同时取得,则当且仅当时取等号.

【评注】利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式:

(1)当且仅当时取等号

（2）,当且仅当时取等号.

首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件,另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法“1的妙用”求最值.

I例8]在平面直角坐标系中,设定点是函数图象上一动点.若点之间的最短距离为则满足条件的实数的所有取值为

【答案】

因为则

分两种情况:

(1)当时则;

(2)当时则.

五含参分式,二次特型

【例1】若的最大值是，最小值是求

(1)的值

的值.

【解析】

(1)由得.

即

因为则.

【例2】已知函数的定义域为值域为求常数的值.

【解析】解法则

令整理得,

即所以

解法2：

则即,

即整理得则有得.

变式训练

已知函数的则____________

六、—次分式,指数复合

求函数的值域

【解析】

解法1:换元分拆法

解法2:反函数法由得故

解法3:变化趋势法

由得由得又分母结合图像（图略）既得

【评注】上述三种解法都具有代表性’但解法3最本质,速度最快

变式训练

求函数的值域.

求函数的值域

[例求函数的值域.

【解析】

变式训练

求函数的值域.

2求函数的值域

求函数的值域

拓展提升

我们将形如的函数称为囧函数’并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”,以“囧点”为圆心并与“囧函数”有公共点的圆称为“囧圆”则当时“囧圆”面积的最小值为_______

七、-般曲线,范围探求

[例1]已知实数满足求的取值范围.

【解析】解得

变式训练

已知实数满足求的取值范围.

[例2]若,求的取值范围.

【解析】

令,则.

令则，

得，

故.

变式训练

若,求的取值范围.

[例3]若,求的取值范围.

【解析】令则

则由三角函数的有界性可得所以

变式训练

若求的取值范围.

【例4】设正实数$x,y$满足则实数的最小值为_____________

【答案】

【解析】

解法1:由