2025高考数学二轮复习-函数与不等式141-150-专项训练【含答案】.docxVIP

【例2】求函数的最小值.

【解析】令

则原函数等价于函数，其中，.

问题等价于求，两点间距离的最小值问题.由图知，距离最小为，即.

【评注】本解法通过换元使问题转化为等轴双曲线上动点与圆上动点的距离问题，直观明了.

【例3】求以实数，为自变量的函数的最小值.

【解析】原式配方得.考虑平面上的点，，当，时，的轨迹是以两条坐标轴为渐近线的双曲线，当，时，的轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆的下半圆.由图知的最小值为，由此可得.

【例4】已知对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为.

【答案】（，]

【解析】，

令则.

令则.

问题等价于求，两点间距离的最小值问题.由图易得.

拓展提升

1.对于实数、定义运算“”：.已知实数，满足，则的最小值为.

2.已知，，则的最小值为.

【例5】求，的最值.

【解析】，令，，，，，，则为圆上的点，为直线上的点.

如图，当点取（3，1）时，，即，则，，

当点取（5，-1）时，，即，则，

故，即，.

【例6】若，求的最大值.

【解析】，此题实质上是求在约束条件下的最值.其几何意义为，在直线上有一点，求点到点（4，l）与点（0，4）的距离之差的最大值.通过数形结合知点关于直线的对称点为（3，3），则由平面几何知识可知.

【例7】若实数，满足，则的取值范围是.

【答案】

【解析】令，（，），此时，且条件中等式化为，从而，满足方程（，）.

如图所示，在平面内，点（，）的轨迹是以点（1，2）为圆心，为半径的圆在，的部分，即点与的并集.因此，从而.

变式训练

1.已知的内切圆的半径为，如图.

（1）求面积的最小值；

（2）求周长的最小值.

2.若面积为定值，求：

（1）周长的最小值；

（2）内切圆半径的最大值.

3.若周长为定值，求：

（1）面积的最大值；

（2）内切圆半径的最大值.

柘展提升

1.已知，，，求证：.

2.已知，，，若恒成立，求的取值范围.

【例8】已知，满足，则的最小值是 。

【答案】

【解析】解法1：由得：.

这里出现了两数之积与两数之和.要得到两数的平方和.可以用基本不等式.

由和

得，解得.

解法2：这里介绍一种好方法，当，系数相等且出现乘积项时，可以用双元换元法.设：，（旋转变换）.

则.

即，即为双曲线，

则可视为双曲线上的点与坐标原点连线长度的平方的2倍.

所以当且仅当时，即时，的最小值为.

解法3：由得，解得或.

所以.

解法4：设点，

由于，即，

所以点的轨迹是以（l，l）为焦点，为准线，离心率为的双曲线，焦准距，离心率，

，得，，，

，.

【例9】已知实数，满足，则的最小值是.

【答案】

【解析】，则，

要求的目标式可以视为上半个椭圆上的点到点（0，1）和到（1，0）的距离之和.

注意到点（1，0）恰好是椭圆的右焦点，设左焦点为（-1，0），

则，，当且仅当，，三点共线时取得等号，此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点.

【评注】本题中出现平方加平方形式的代数式，所以要联想到几何中的两点间距离公式.

解析几何中遇到曲线上的一点到一个焦点的距离时，不妨马上连结.

求双变量代数式的最值问题，常见的转化方式有：通过代换转化为一元函数求最值；转化为均值不等式求最值；转化为线性规划求最值；运用数形结合求最值.

十、二元最值，先定主元

【例1】求函数的最值.

【解析】解法1：配完全平方式.

解法2：主元思想

设为主元，则.

【评注】上述两种解法中，解法2较好，它不受系数限制，易操作.

变式训练

求函数的最大值.

拓展提升

已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意：，，，则=，=，.

【例2】若函数有零点，且恒成立，求的最大值.

【解析】由有零点知，则，

，则，

令，，则，，令，

当时，，时取等号，与矛盾；

当时，在上单调递减，

故，

令，得为极小值点，

故，的最大值为.

【例3】已知在三棱锥中，，，，，60，求三棱锥的体积.

【解析】设射线，B方向上的单位向量分别为，则点到平面的距离为|

故.

【评注】向量在解决点面距离时有神奇的效果.

十一、多重换元，化归求之

【例1】已知，，求的最大值.

【解析】解法1：设，

令，则，

求的最大值即可.

令，再令，则，故.

解法2：令，则

.

【评注】解法2的分母换元将多项式化为了单项式，为后继步骤中部分分式开辟了道路.

【例2】求的最值.

【解析】

令，

则，

，

，

故，即，.

解法2：由于且，设点（，）与点（0，0）的距离为，复数与轴正方向所成的角为，则，，

.

于是原问题就变成了一元函数的问题，整理变形得，

当即时，取到最大值，