第4章 专题6 一线三等角模型【2025中考数学第1轮复习考点梳理练 】(含解析).docxVIP

第四章三角形

专题六一线三等角模型

模型特点

(1)∠1，∠2，∠3的顶点在同一条直线上；

(2)∠1，∠2，∠3之间的数量关系：∠1＝∠2＝∠3.

模型结论

(1)△APC和△BDP的关系是△APC∽△BDP；

(2)若在(1)的条件下，增加条件AP＝BD(或AC＝BP或PC＝DP)，可得△APC≌△BDP.

构造方法

方法1：若图中存在一条直线上有一个直角时，根据一线三等角的特点，从直角的两边上的已知点向直角顶点所在直线作垂线，构造一线三等角；

方法2：若图中存在一条直线上有两个等角时，根据一线三等角的特点，补上一个与前面角相等的角．

1．如图，在等边三角形ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°.求证：△ABP∽△PCD.

证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°.

∵∠APB＋∠BAP＝180°－∠B＝120°，∠APB＋∠CPD＝180°－∠APD＝120°，

∴∠BAP＝∠CPD，

∴△ABP∽△PCD.

2．

(一题多解)如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是边AB上一点，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，且∠EFD＝60°，求AE的长．

方法一：补“两个等角”

【思维引导】(1)线段AB上有一个直角，需要补两个直角；(2)过点F作FG⊥AB交AB于点G，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H，此时线段HG上有三个相等角，三个相等角为∠DHE，∠DEF，∠FGE；(3)在△EGF与△DHE中再找一组相等角∠DEH和∠EFG(或∠HDE和∠GEF)；(4)确定△EGF与△DHE的关系．

解：如图1，过点F作FG⊥AB于点G，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于点H，

图1

∴∠EGF＝∠DHE＝90°＝∠DEF，

∴∠DEH＋∠FEG＝90°，

∠FEG＋∠EFG＝90°，

∴∠DEH＝∠EFG，

∴△EGF∽△DHE，

∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(GF,HE)＝eq\f(EF,DE).

又∵∠EFD＝60°，

∴eq\f(EF,DE)＝eq\f(\r(3),3).

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝4，

∴∠HAD＝∠B＝60°，

∴AH＝2，DH＝2eq\r(3)，

∴eq\f(EG,DH)＝eq\f(EG,2\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，解得EG＝2.

∵在△BGF中，GF＝eq\r(3)BG，HE＝2＋AE，

∴eq\f(GF,HE)＝eq\f(\r(3)BG,2＋AE)＝eq\f(\r(3),3)，

∴AE＝3BG－2，

∴AE＋BG＝3BG－2＋BG＝4BG－2＝AB－EG＝1，

解得BG＝eq\f(3,4)，∴AE＝eq\f(1,4).

方法二：补“一个等角”

【思维引导】(1)线段BC上有两个相等的角，分别为∠B，∠EFD，需要再作一个等角，延长BC至点M，使得∠CMD＝60°，此时线段BM上有三个等角；(2)在△BEF与△MFD中再找一组相等的角∠BEF和∠DFM(或∠BFE和∠MDF)；(3)确定△BEF与△MFD的关系．

图2

解：如图2，延长BC至点M，使得∠CMD＝60°.

∵∠EFD＝∠B＝60°，

∴∠EFB＋∠DFM＝120°，

∠BEF＋∠EFB＝120°，

∴∠BEF＝∠DFM，

∴△BEF∽△MFD，

∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(BF,MD)＝eq\f(EF,FD).

∵∠DEF＝90°，∠EFD＝60°，∴eq\f(EF,FD)＝eq\f(1,2).

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠DCM＝∠B＝60°，

∴△CDM是等边三角形，

∴CD＝DM＝CM＝AB＝3，

∴eq\f(BF,MD)＝eq\f(BF,3)＝eq\f(1,2)，

∴BF＝eq\f(3,2)，∴CF＝eq\f(5,2)，

∴eq\f(BE,MF)＝eq\f(3－AE,\f(5,2)＋3)＝eq\f(3－AE,\f(11,2))＝eq\f(1,2)，

解得AE＝eq\f(1,4).

3．(2023·武汉)【问题提出】

如图1，E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α(α≥90°)，AF交CD于点G，探究∠GCF与α之间的数量关系．

【问题探究】

(1)先将问题特殊化，如图2，当α＝90°时，直接写出∠GCF的度数；

(2)再探究一般情形，如图1，求∠GCF与α之间的数量关系；

【问题拓展】

(3)将图1特殊化，如图3，当α＝120°时，若eq\f(DG,CG)＝eq\f(1,2)，求eq\f