2025高考数学二轮复习-函数与不等式311-320-专项训练【含答案】.docxVIP

三、有关周期性的问题

[例1]设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,求证是周期函数.

故即,

又由是偶函数知则,

将上式中-用代换,得.

这表明是上的周期函数,且2是它的一个周期.

[例2]是定义在R上的函数,对任意有并存在正实数c,使试问是否为周期函数?若是,求出它的一个周期;若不是,请说明理由.

解析:用分别替换条件中的x,y得

即,

所以

故是周期函数,2c是它的一个周期.

《评注》这类问题应该仔细分析题设条件，通过类比、联想找到满条件的函数模型，通过对函数模型的分析赋值代换以获得问题的解答.请记住下列抽象函数模型：

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)的函数模型是余弦函数型

f(x-y)=1+f(x)f(y)/{f(x)-f(y)}的函数模型是余切函数型

f(x+y)=f(x)-f(y)/1+f(x)f(y)的函数模型是正切函数型，

它们的共同点是都具有周期性.

[例3]设函数的定义域关于原点对称且若,求证的周期为

解析：由得,

故的周期为.

变式训练

已知是定义在上的函数,且满足求的值.

.

[例4]设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,对任意都有

求及的值;求证：f(x)是周期函数；

记=，求.

解析：(1)因为对都有所以

又

所以得.

（2)依题设关于直线对称,有即又由是偶函数知,

所以得

这表示是上的周期函数,且2是它的一个周期.

(3)由(1)知,

故

因为的一个周期是2,所以从而，

所以

四、抽象函数的综合展现

[例1]已知定义域为[0,1]的函数同时满足:（1）对于任意,总有;(3)若则有

（1)试求的值

（2)试求函数的最大值

(3)求证:满足上述条件的函数对一切实数都有.

解析：令,依条件可得即

又由条件(1)得则

(2)任取可知,

则,

即,

故.

于是当时,有

因此,当时有最大值为1.

(3)()当时;

(ii)当时则,

显然,当时

成立

假设当时,有成立,其中.

那么当时

可知对于总有其中

而对于任意存在正整数n,使得,

此时.

(iii)当时.

综上可知,满足条件的函数对总有成立.

[例2]已知函数满足对任意实数x,y都有且.

(1)求的值;

（2)求证:对一切大于1的正整数t,恒有

（3)试求满足的整数的个数,并说明理由.

解析：(1)令得

令因为所以

令得,

所以

(2)令得,

故当时,有

由可知,对一切正整数都有

当时

故对一切大于1的正整数,恒有

(3)解法1:由及(1)可知

下面证明当时,.

早得.

因为,

所以

同理可得

将各不等式相加得

由得

综上所述，满足条件的整数只有两个,即1和一2.

解法2:由得((2)故是二次函数.（由（1）知最高次数不是四次,由（2）知最高次数为三次也不可能,故只能是二次）设待定系数得,

则即解得或一2.故满足条件的整数只有1和-2.

解法得,

分别用和1代换和得,递推累加即得

令得或故满足条件的整数只有1和一2.

[例3]已知函数满足条件:

(4)当时,有.

(1)求的值;f(1),f(2),f(3)的值,猜想的解析式,并证明.

解析：（1）又,故.又

且故

(2)由猜想.

用数学归纳法证明:

(n=1时函数解析式成立

(ii)假设时成立.

(1)若则

(2)若

则

所以即时,函数解析式成立.

综合(1)(2)可知成立.

[例4]已知函数对任意都有.

(1)求和的值

(2)若数列满足则数列是等差数列吗?请给出证明;

(3)令试比较与的大小.

解析：(1)因为所以.

令得即.

(2),

又,

两式相加得

所以

又故数列是等差数列.

当时,

当时，

所以.

[例5]设函数定义在上,对任意都有且存在正数满足求证:

(1)是偶函数；

(2)是的周