2025 年南京市数学拔尖创新人才数学素养测试(B 卷)解析版.docxVIP

2025年南京市数学拔尖创新人才数学素养测试(B卷)解析版

一、填空题:本题共10小题,每小题8分,共80分.

1.正实数r满足1r+9+1r

【答案】45

【解析】化简得r+

2.已知△ABC的内心为I,AI的延长线与BC交于点D,若AB+AC=10,

【答案】5

【解析】AIID

3.记a=sin85°+sin53°+sin42

【答案】a

【解析】a-b=sin

4.已知四边形ABCD内接于⊙O,若AC⊥BD,且AB2+CD

【答案】45π

【解析】设AC,BD交于M,则AB2+CD2=AM2+BM2+CM2

从而周长C=

5.正整数a,b,c,d,e满足a≤b≤c≤

【答案】1013

【解析】a+

6.已知非零实数a,b,c,d满足ab

【答案】2025

【解析】不妨设a0,b,c,d0,abcd+bd2=0,

7.在△ABC中,AB=AC,M为AC的中点,若BM=3,则

【解析】设AB=AC=2x,则cosA

8.从1,2,?,25这25个自然数中选出三个数a,b,ca

【答案】16

【解析】显然,b的因子只含2,3,5,当b=2时,a,b,c=1,2,4,当b=3时,(a,b,c)=1,3,9,当b=4时,a,b,c=1,4,16或(2,4,8),当b=5时,(a,b,c)=1,5,25,当b=6时,a,b,c=2,6,18或(3,6,12)或(4,6,9),当b=

9.已知x表示不大于x的最大整数,例如-π=-4.记a202520262024

【解析】a

故10a=

10.正实数p,q,r,s满足p

【答案】2

【解析】1+qp2sr2+1+sr2qp

二、解答题:本题共5小题,共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

11.(本题12分)已知a,b,c为实数,若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根证明:a5a+4b+8c0.证明:△=b2-4ac0,故a,c同号,若

若a,c0,b0,则b2ac,5

综上,原命题成立.

12.(本题14分)已知正整数p,q,r,s满足p+q+r+

解:显然,p,q,r,s≥2

若q≥5,则p+q+r+s

当q=2时,

p=3,r=10,s=

当q=3时,

p=

当q=4时,

p=

综上,p+q+

13.(本题14分)如图,∠AOB为锐角,点P,Q,R在射线OA上,点U,V,W在射线OB上,若OP

证明:设PU的中垂线与∠AOB的平分线交于M

过M作ME⊥OA,MF⊥OB,垂足为E

则MP=MU,ME=MF,故△

故OE+OF=

而OE=OF,故由此法做出的E,F为定点,从而

即PU中垂线与∠AOB平分线交点为定点

由同一法可知QV,RW中垂线与∠AOB平分线交点为定点

14.(本题15分)求所有正整数对(m,n),使得3m5n

￥:显然3m5n-2000为奇数

若m为奇数,n为奇数,则3m5n-

若m为奇数,n为偶数,则3m5n-

若m为偶数,n为奇数,则3m5n-

故m,n均为偶数,设

3s5t-r=2000或3s5t+r=43s5t

3

3

逐一验证,仅有s

15.(本题15分)如图,在凸四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD上的点,延长AD与BC交于点P,若AEEC=DFFB=12,且

解:连BE,DE,CF,取PE,PF与

则S△

且S△

故3S

同理S△

S

故3S

(1)+2得S

故S四边形CDEF=

而S△CDF=13S△BCD,S△DEF=13S△

从而S

=92S△