2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何71-80-专项训练【含答案】.docxVIP

十三、圆幂定理巧妙运用

【例17】如图，直线：交圆于，两点，已知点（-6，3），求的最小值.

【解析】解法1如图2，取中点，过点作圆的外切线且切点为，直线过定点（6，3），则.

其中.（，（圆幂定理））

解法2如图3，联立，得，整理得.

设，

小值.

令，则.

因为，所以.

故，此时.

所以.

故.

【评注】本题用通法（解法2）解非常麻烦，但解法1巧妙地用向量分点插入，并借助圆幂定理获解.

【规律探索】

圆幂定理：如图4，过圆内一点作两条弦分别交圆于点，，，，则.如图5，过圆外一点作圆的两条割线，分别交圆于点，，，.再作切圆于点，则，其中，.

【例18】直线过点（-1，0），交圆于，两点，交直线点，是中点，求证：为定值.

【解析】解法1如图6，由已知得，，，四点共圆，由圆幂定理，得.

解法2设直线，化斜为直

联立得，

整理得.

又得.

.

【评注】本题同样用通法（解法2）解较麻烦，但解法1利用，，，四点共圆并借助圆幂定理获解.

【娈式训练】

是半径为5的圆上的定点，是圆上的动弦，且弦长为6，则的最大值为 （）

A.30 B.36 C.54 D.60

【柘展提升】

1.设，，若直线与圆相切，则的取值范围是 （）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】圆心坐标为（1，1），半径为1.

直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足，即.设，即，解得或.

2.在平面内，定点满足，，动点，满足，，则的最大值为.

【答案】

【解析】由图7分析.过程略.

3.在中，是的中点，，，则的面积的最大值为.

【答案】

【解析】以所在直线为轴，以为坐标原点建立如图8所示的平面直角坐标系，的面积只与点的纵坐标有关.

设的长为2，则点既在以为圆心，2为半径的圆上，又在以，为焦点，实轴长为2的双曲线右支上，联立圆与双曲线的方程有

两式相减并整理得.

当且仅当时取到等号，所以.

【例19】已知（3，2），点在轴上运动，点在圆上运动，则的模的最小值是.

【答案】3

【解析】此问题中，都是动点，考虑先固定其中的一个动点，让另一个动点移动，看看何时的模取到最值.

发现先固定点比较容易（先固定点则需要根据点的位置不同进行讨论），如图9.

当点固定时，考虑的坐标.点的移动不改变这个和向量的横坐标，所以当这个和向量的纵坐标为零时，对应的模有最小值，且纵坐标一定可以取到零.

接下来让点在圆上移动，考虑和向量的横坐标的绝对值何时最小.

因为P的横坐标恒为-3，的横坐标小于等于零，所以当的横坐标为零时，和向量横坐标的绝对值最小，此时的模有最小值3.容易求出此时（3，-2），（0，6）.

十四、切点弦方程快解题

已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，.求证：直线过定点.

【解析】设点，则，

从而圆的切点弦所在直线的方程为：.

变形得，于是，即.

联立方程求得定点坐标为.

【评注】本题利用了切点弦解决问题.

【规律探索】

1.切点弦方程求法：

①过圆上一点（，）的切线方程是：.

一般地，当（，）点在圆上时，直线记为过点（，）的切线，如图1；

当点（，）在圆外时，直线为过点（，）两切线的切点弦所在直线的方程，如图2；当点（，）在圆内时，直线记为过点（，）且垂直于的直线，如图3.

2.三者距离之间的重要关系

若设点到直线的距离为，的长为，则为常数.

注①一般地，如何求圆的切线方程？抓住圆心到直线的距离等于半径；

②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求.

3.—般方程的切点弦

已知圆和点，则圆的切点弦方程是：.

【变式训练】

已知（，）（）是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则 （）

A.，且与圆相交 B.，且与圆相交

C.，且与圆相离 D.，且与圆相离

【例2】已知圆，过原点作此圆的切线，切点为，.又过原点任作一直线，交圆于，两点，交直线于点（如图4）.设，，，求证：.

【解析】联立方程得.

整理得，

则，.

切点弦：.

联立方程得得.

，而.

故.

【评注】化斜为直，利用切点弦方程.

十五、切线长公式巧运用

【例22】过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，，则的最小值为 （）.

A.10 B.13 C.16 D.19

【答案】B

【解析】如图1所示，由于，为切线，在和中，有.

又，所以最小值为13.

故选B.

【评注】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系，数形结合的数学思想，划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的，转化为，，再结合图象可知，当，，三点共线时，取得最小值8.

【规律探索】

切线长公式及意义：