2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何151-160-专项训练【含答案】.docxVIP

当时取最大值为3,所以的取值范围为.

又当不存在,即轴时取值为所以的取值范围为.

例57.已知椭圆的左右焦点为离心率短轴长为2.

（1）求椭圆的方程;

(2)如图,点为椭圆上一动点(非长轴端点的延长线与椭圆交于点,AO的延长线与椭圆交于点,求面积的最大值.

解析

(1)由题意得解得.

因为所以.

故椭圆的标准方程为

(2)当直线AB的斜率不存在时,不妨取.

故

(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为联立方程组

化简得

设则.

点到直线的距离.

因为是线段AC的中点,所以点到直线AB的距离为.

所以

当且仅当时等号成立.

十八、圆与椭圆珠联壁合

本节精选了10个圆与椭圆“珠联璧合”的典型例题,每个例题内涵丰富,并具有代表性,解法精巧，难度中上.对于具有一般意义的“蒙日圆”给出了系列问题,并作了拓展提升.

例58如图,已知椭圆的一个焦点为离心率为.

（1）求椭圆的标准方程

(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直.求点的轨迹方程.

解析

(1)可知又所以

故椭圆的标准方程为.

(2)设两切线为,

(1)轴或轴时,对应轴或轴,可知;

(2)当与轴不垂直且不平行时,设设的斜率为k,则的斜率为,的方程为与椭圆方程联立,

得

因为直线与椭圆相切,所以得

所以即

所以是方程的一个根.

同理是方程的另一个根.

所以得其中.

所以,点的轨迹方程为.

因为满足上式,综上知:点的轨迹方程为

评注本题背景是很美的蒙日圆.

拓展提升

已知A,B是椭圆上两动点,分别以A,B为切点作椭圆的切线当与的夹角为定值时,求两直线交点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.

(解析]如图,设切线与的交,点斜率分别为则切线的方程为

于是,

故即

同理由切线的方程得

于是是方程的两根,故.

(1)当时,所求的方程为.

(2)当时，

故所求的方程是:

我们有下面的定理:

定理1

(1)椭圆正交切线交点轨迹为圆(蒙日圆;

（2）椭圆正交切线的斜率之积为定值

（3）椭圆正交切线的A,B切点弦包络的椭圆与原椭圆公焦点

问题探究已知半经为的圆是圆心在椭圆上的

动圆,过椭圆中心作圆的两条切线,分别交椭圆于A,B两点,问是否存在定值为，使得为定值

[解析1如图4,设.

圆心到的距离为

整理得

因为所以

因为定值,则分子分母关于的系数必成比例,

即故

所以.

所以存在定值,使得为定值.

问题探究如图已知动点A,B在椭圆上,当

面积达最大时,A,B是定点吗？若A,B还是动点,则是否为定值?

解析设,

则

此时即,

所以.

问题探究3如图,已知半径为圆心在椭圆上的动圆,过椭圆中心作圆的两条切线,分别交杜圆于A,B两点,问是否为定值?

解法

如图先由特例

设

联立方程消去得.

从而

圆心到直线的距离为由已知得

化简并整理得

从而.

因为.

解法

由解法1知

解法由得.

综上,我们得到下面的定理:

定理

直线交椭圆于两点A,B,当面积达最大值时.

(2)为定值;

圆心在椭圆上与射线OA,OB都相切的圆的半径为定值;

(4)直线的包络是椭圆;

(5)A,B两点的切线交点的轨迹是椭圆.

上述五条任意一条为条件均可推出其余四条.

[例59]已知直线与椭圆交于A,B两点,且以AB为直径的圆恰过原点,求弦AB长的取值范围.

解析解法1联立方程

消去得,

整理得

设由AB过原点得,

所以,

即由于

令,

则上式化为.

再令

则上式化为

即

法2设.

分别代入椭圆方程即

以上两式相加得为常数.

由知

即

则

所以.

拓展提升

椭圆的正交中心角系列：已知为椭圆上A,B两点，

(1);

(2)

(3;

(4)椭圆上任意一点对圆的极线包络为椭圆

解析如图,设,

由

以上两式相加得为常数.

由知

即

则

故(1)(2)(3)的结论得证.

(4)如图设则极线CD为.

令得.

令得.

极线包络为椭