2025高考数学二轮复习-拉档提分解析几何241-250-专项训练【含答案】.docxVIP

．

所以成等差数列．

【例47】已知直线是过椭圆上一点的切线．

（1）求两焦点到切线的距离的积；

（2）当是椭圆的任一切线时，试问两焦点到切线的距离的积是否为定值？

图48

【解析】（1）得.

因为为过上一,点的切线，

所以即.

.

（2）如图48，令切椭圆于点，设，

则切线.

又因为在椭圆上，所以.

，所以为定值.

【例48】如图49，已知过椭圆的右焦点的弦为

，点关于轴的对称点为直线交轴于点.

图49

（1）求的值；

（2）若是对称轴上任一定点，动弦所在直线过点，端点关于轴的对称点为,直线交轴于点，求证：

为定值,其定值与椭圆的几何量有什么关系？

【解析】（1）设点直线.

联立得.

从而得:

由于点在同一直线上,可得,

化简得.

因为所以,

即.

代入①②，得.

即.

（2）设直线,

联立得.

从而得:①.②

由于点在同一直线上,可得,

化简得.

因为所以,

即.

.

【例49】如图50,设点为圆上的动点,过点作轴的垂

线,垂足为.动点满足（其中不重合）,

图50

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为.若

直线与（1）中的曲线交于两点,求的取值范围.

【解析】（1）设点由得.

由于点在上，则.故点的轨迹方程为.

（2）设点则直线的方程为:

又点在直线上,则有:

由①②知直线的方程为

设点则圆心到直线的距离.

又由,得.

于是.

故.

从而.

设则于是.

设，于是.

设令得.

故函数在上单调逆增,故

即的范国为.

【例50】已知是曲线上的动点，过点与圆的切线交曲线于另两点,,问是否存在实数,使对任意的动点,直线必与圆相切？

【解析】令，切线的方程为：，,

令，切线的方程为：，由对称性得直线

由解得故圆心

下面证明在任意情况下结论成立.一方面,由得.

于是

另一方面，直线与曲线相交于点,

由得.

所以

则是方程的两个根,所以所以；

是方程的两个根,所以所以

由于直线，

而

所以直线即.

圆心到直线的距离为，

故直线与圆相切.

【例51】长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上，且满足.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）记点轨迹为曲线,过点任作直线交曲线于两点,过点作斜率为的直线交曲线于另一点，求证：直线的交点为定点（为坐标原点），并求出该定点.

【解析】（1）设,

由得即.

又由得即为点的轨迹方程.

（2）当的斜率不存在时，直线与曲线相切,不合题意；

当斜率存在时,设直线的方程为即.联立方程得.

设则,

故直线的方程为

与曲线的方程联立得,

故，

所以

直线的方程为.

令则.

因为

.即

所以

从而即直线与直线交于定点

【例52】已知点，是椭圆上的两个动点，且，求面积的最大值.

【解析】设，，与椭圆方程联立，得

整理得,

由题意知即,

整理得,

即,

从而,

过定,点（舍），过定点.

.

附：

平面截圆锥的统一证明

设圆锥的内切球与圆锥面切于小圆记小圆的平面为圆锥母线与平面的线面角为,斜截面与平面的二面角为,点为截面与圆锥面截线上任意一点,母线交小圆于点,截面与球的切点为,连接.

设锥面与平面的交线为过点作,圆锥轴截面与斜截面的交线为则.且.由于圆台的母线长相等,故有.过点作,交直线于点,则是斜截面与平面的二面角的平而角,所以又故在中,由正弦定理得.

因而,截线上任意一点到定点与到定直线的距离的比是定估.

且当时，斜截面与圆锥母线平行,此时,截线是拋物线，

当时，斜截面与圆锥母线同侧相交,此时截线是椭圆，

当时，斜截面与圆锥母线异侧相交,此时截线是双曲线，

当时，斜截面与圆锥母线同侧相交,此时截线是圆.

参考答案

第一章解几拉档策略先知

九、定值定点，特值先知

例11【变式训练】

【解析】参考例11的思路，即可得直线过定点．

十三、两点直径，方程妙用

例23【变式训练】

【解析】设，由于，以为直径的圆方程为：

．

即．

即

因为，

所以．

因为,

所以．

第二章直线拉档经典题例

一、倾角多变，易混易错

例1【变式训练】

1．．

2．．

3．或.

二、斜率公式，万能钥匙

例4【变式训练】

1．.

2．.

3．.

4．.

5．.

6．.

三、定点直线，十大问题

例5【变式训练】

图1

【解析】由图1可知解得

．