2025高考数学二轮复习-拉档提分数列151-160-专项训练【含答案】.docxVIP

2．已知在数列中且求通项公式.

【例5】已知一个圆内有条弦,这条弦中每两条都相交于圆内的一点,且任何三条不共点,求证:这条弦将圆面分割成个区域．

【解析】当时，成立；

假设当时命题成立,即，

则当时,第条弦被前条弦分成段,所以增加了个区域，

故共有个区域.

此时,即时命题成立.

综上知待证命题成立。.

【变式训练】

1．观察下面的等式:

推出由等式提供的一般规律,用数学归纳法证明．

2．已知平面上有个圆,其中任意两圆都相交,任意三圆不共点,试推测个圆把平面分为几部分？用数学归纳法证明你的结论．

【例6】已知数列的通项公式是记

(1)写出数列的前三项;

(2)猜想数列通项公式,并用数学归纳法加以证明;

(3)令求的值．

【解析】（1）略；

证明略；

（3）由

得．

【变式训练】

已知数列满足且

(1)求

(2)猜想通项公式并用数学归纳法证明．

【例6】如图是曲线上的个点,点在轴的正半轴上,且是正三角形(点与坐标原点重合)．

(1)写出的值．

(2)求出点的横坐标关于的表达式．

【解析】(1).

(2)依题意有由此及得

即

由此猜想：．

下面用数学归纳法予以证明:

当时，命题显然成立;

(ii)假设当时命题成立,即有,

则当时,由归纳假设及得

即

解之得不合题意，舍去$)$,

即当时,命题成立.所以.

【评注】数学归纳法主要用来解决与自然数有关的命题，通常与数列不等式证明等基础知识和基本技能相结合来考查逻辑推理能力，也是考查推理与证明的一个重要内容，要求了解数学归纳法的原理，并能加以简单的应用.

【变式训练】

已知点列其中是线段的中点,是线段的中点，是线段的中点，...，

(1)写出与之间的关系式;

(2)设计算由此猜想数列的通项公式,并加以证明.

【拓展提升】

已知数列满足且记集合

（1）若写出集合中的所有元素;

（2）若集合中存在一个元素是3的倍数,求证:中的所有元素都是3的倍数；

（3）求集合中的元素个数的最大值.

二、整除性问题的数学归纳证明

【例1】求证：对任意正偶数，二项式能被整除．

【解析】（ⅰ）当时，能被整除，命题成立．

（ⅱ）假设当为正偶数)时命题成立，即能被整除，

当时，

．由可被整除，能被整除，则能被整除，故当时，命题成立．

由（ⅰ）和（ⅱ）知对任意正偶数，命题成立．

【评注】由命题要求对任意正偶数进行证明则归纳步骤的跨度为2．

【例2】用数学归纳法证明：能被64整除．

【解析】（ⅰ）当时，，能被64整除，故时命题成立；

(ii)假设当时命题成立，即能被64整除，则当时，能被64整除，

故当时命题成立．

由（ⅰ）（ⅱ）可知对都能被64整除．

三、数列恒等问题的数学归纳

【例1】用数学归纳法证明：．

【解析】（ⅰ）当时，左边，右边，等式成立．

（ⅱ）假设当时等式成立，即

则当时，

，

故当时，等式也成立．

根据（ⅰ）（ⅱ）可知,对任意的等式都成立．

【例2】是否存在常数，使得等式对任意都成立．

【解析】假设存在使题设的等式成立，

令

于是，对，下面等式成立：

，

记，

设时上式成立，即，

那么

也就是说，等式对也成立．

综上所述，当时，题设对任意的均成立．

【例3】已知数列的通项公式为，试问是否存在常数使等式对一切都成立？

【解析】分别令得方程组

即

解得

所以

（ⅰ）当时等式成立；

（ⅱ）假设当时等式成立，

即

当时，

即当时等式成立，由（ⅰ），（ⅱ）可知对一切，等式都成立．

【例4】设是否存在使等式

对都成立?证明你的结论．

【解析】时，

猜想：

（ⅰ）当时显然成立；

（ⅱ）假设当时，即，

当时，

，

由于，

所以即，

，

这就是说，当时，假设成立．

综上，命题对均成立．

【变式训练】

用数学归纳法证明：．

2.用数学归纳法证明：.

3.用数学归纳法证明：.

【例5】求实数的值，使下面等式对一切都成立：

．

【解析】当时，左边，右边由解得

下面用数学归纳法证明当时原式对一切都成立.

（ⅰ）当时,等式成立；

（ⅱ）假设当时，等式成立，

即，

则当时，

左边

故当时等式成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可知当时，对，等式均成立.

【例5】求证：对

.

【解析】（ⅰ）当时，左边右边.

，即等式成立.

（ⅱ）假