2025高考数学二轮复习-拉档提分数列181-190-专项训练【含答案】.docxVIP

（3）

，故.

中最大数，设的公差为，则

由此得，又，故，所以

所以.

【评注】本例为数列与解析几何的综合题，难度较大．（1）（2）两问运用几何知识算出；解决第（3）问的关键在于算出及求数列的公差.

4.与椭圆的有机结合

【例5】设的三边长分别为，面积为，．若，，，，，则（）

A.为递减数列B.为递增数列

C.为递增数列，为递减数列

D.为递减数列，为递增数列

【答案】B

【解析】因为，所以数列是常数数列，即，记.

又，，所以.

而，所以数列是常数数列，即

故在系列中，，

即，为定点，是以，为焦,点，为长轴长的椭圆上的动点

设，则由椭圆第二定义知，

另一方面，

所以，即是无穷递减的等比数列

由，知是无穷递增的等比数列

又，故为递增数列，选.

第八章组合数列，生活模型

对于排列组合问题，我们往往可以从多种角度去分析，有时两种不同的思想会得出两种不同的算法，但由于是对同一件事的不同处理，最后结果殊途同归，这样就会得到一系列有趣的组合恒等式．本章主要对常见的组合恒等式给出合理的生活模型，以拓展解题思路，激发学习兴趣．

【问题1】

【解析】模型1：从个不同元素中取个不同元素的种数为，与余下的个元素的种数应该相同，从而.

【问题2】

【解析】模型2：求从个不同元素中取个不同元素的组合总数.

一方面，从个不同元素中取个不同元素的组合总数为；

另一方面，完成这件事可以分类解决，把个元素编号为.

第一类：个元素中不含有，则个元素只能从前个不同元素中取，有种；

第二类：个元素中必含有，则只要在前个不同元素中取个元素即可，有种，从而.

【问题3】

【解析】模型3：求集合中含有个元素的子集的元素个数的总数.

一方面，可以看作含有个元素的子集有个，而每个这样的集合有个元素，故共有个元素；

另一方面，含有元素且元素个数为的子集有个，由于共有个不同的元素，故共有个元素，从而有.

【问题4】

【解析】模型4：可看作以下情况：个灯排成一列，用灯亮与灯暗作不同的信号，共可表示几种不同的信号?

一方面，可分步完成：

第1个灯有2种（亮、暗）信号；

第2个灯有2种（亮、暗）信号；

第个灯有2种（亮、暗）信号．

由乘法原理知共有种；

另一方面，可分类完成：

第1类，有0个灯亮，有种信号；

第2类，有1个灯亮，有种信号；

第类，有个灯亮，有种信号，

由加法原理知共有种，

从而有.

问题5：

【解析】模型5：求从个不同的元素中取个元素的组合总数.

一方面，可直接由组合数定义得有种；

另一方面，可分类完成，

由加法原理共有种，

从而有.

本式也可构造多项式函数，如：

求中的项的系数.

【问题6】

【解析】模型6：设集合，求集合中所有子集元素的总个数.

一方面，可以按含某个元素分为类解决：

第1类：含有元素的子集有个；

第2类：含有元素的子集有个；

第类：含有元素的子集有个，

由加法原理知共有个.

另一方面，也可按含元素个数分为类计算：

第1类，含1个元素的子集有个，则元素有个；

第2类，含2个元素的子集有个，则元素有个；

第类，含个元素的子集有个，则元素有个，

由加法原理知共有个元素，

从而有.

【问题7】

【解析】模型7：设集合，计算的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数.

完成这件事，也可用两种方法解决.

一方面，含有序元素对的子集有个，而所有有序元素对有对，故的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数为.

另一方面，也可分类计算：

第1类，含2个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对；

第2类，含3个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对；

第类，含个元素的子集有个，而每一子集的有序元素对有对，

故由加法原理知的所有子集中由两个不同元素组成的有序元素对的个数的总数为?

从而有

【问题8】

【解析】模型8：可看作以下情况：两个盒中各放有个小球，求从中任取个球的不同方法总数.

一方面，可直接由组合数定义得共有种；

另一方面，给盒子编号为，可对1号盒分类：

第1类：在1号盒中取0个球，则在2号盒中取个球，有种；

第2类：在1号盒中取1个球，则在2号盒中取个球，有种；

第类：在1号盒中取个球，则在2号盒中取0个球，有种；

由加法原理知共有种.

注意到，从而有.

【问题9】（其中都是正整数，且）

【解析】模型9：一方面可把看作二项式展开式中项的系数，

另一方面，又有，

而展开后的系数可分类解决：

第1类：展开式中的的系数与展开式中的的系数的积为；

第2类：展开式中的的系数与展开式中的的系数的积为；

第3类：展开式中的的系数与展开式中的的系数的积为；

第类：展开式中的的系数与展开式中的的系数的积为，