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2021年中考数学复习题

25．（12分）问题提出

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过

点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是

CF、DE、DF．

问题探究

̂̂̂

（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且=2，连接AP，BP．∠

APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线

段CF的长．

问题解

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，

点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，

BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF

内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），

阴影部分的面积为y（m）．2

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试

求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴四边形CEDF是矩形，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

∴四边形CEDF是正方形，

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∴CE＝CF＝DE＝DF，

故答案为：CF、DE、DF；

（2）连接OP，如图2所示：

̂̂

∵AB是半圆O的直径，=2，

1

∴∠APB＝90°，∠AOP=×180°＝60°，

3

∴∠ABP＝30°，

同（1）得：四边形PECF是正方形，

∴PF＝CF，

√3=43，

在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝8×2√

===3CF，

在Rt△CFB中，BF=∠30°√3√

3

∵PB＝PF+BF，

∴PB＝CF+BF，

即：43=CF+3CF，

√√

解得：CF＝6﹣23；

√

（3）①∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵CA＝CB，

∴∠ADC＝∠BDC，

同（1）得：四边形DEPF是正方形，

∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，

∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：

则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，

∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，

11

∴S+S＝S=PA′•PB=x（70﹣x），

PAEPBFPAB

△△△′22

√2√2×70＝352，

在Rt△ACB中，AC＝BC=2AB=2√

11

2=×（352）2

∴S△ACB=2AC2√＝1225，