2025高考数学二轮复习-排列组合+概率统计61-70-专项训练【含答案】.docxVIP

化简得

所以.

故按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.

（二）余数探求

【例39】求除以8的余数.

【解析】因为，所以

由上面的展开式可知，199911除以8的余数是7.

【变式训练15】

能被19整除吗?

【例40】如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过天后的那一天是星期几?

【解析】由千

则被7除所得余数为6.所以对于任意自然数n，经过天后的一天是星期日.

【变式训练16】

1.求除以19的余数.

2.今天是星期天，过天后是星期几?

【例41】求除以88的余数.

【解析】因为

，

所以原式除以88的余数为1.

【评注】定理的逆用是全面掌握好定理的一个必不可少的环节，利用逆向思维解题也是数学思想的一个重要组成部分.

（三）整除研究

【例42】已知求证能被64整除.

【解析】

因为是整数，所以能被64整除.

【例43】已知求证能被整除.

【解析】令，则

.

【例44】已知求证能被20整除.

【解析】证法1：要证能被20整除，只需证明能被5整除，且能被4整除，而这只需按二项式定理展开和

.

因为对任意正整数都是正整数，所以是20的倍数，即能被20整除.

证法2：由联想到等比数列的前项和公式

当，或时，便可将与表示成若干个正整数的和，由此证明本题结论.因为，

所以.

故

，

此式是20的倍数，即能被20整除，

【评注】(1)一般地，要证明能被整除或求除以的余数，只要将表示成再二项式定理展开即可(其中m，n，k为正整数，r，q，p为整数).

(2)当n=0时，本题结论仍成立.还可以运用数学归纳法证明能被20整除.

(四)不等证明

【例45】求证且.

【解析】左式

$

注意到：①；

②右式至少有三项；

③.

故可以得到且.

【变式训练18】

当且时，求证

【例46】设且求证:

(1)；

(2)求证.

证明过程中可以运用公式:对个正数总有式中等号成立的充要条件为

【证明】(1)由，则

又，故.

(2)根据公式，对个正数总有式子等号成立的充要条件为，故有.

而

这样，

所以.

又已证所以.

【例47】已知求证对任何正整数都成立，并指出等号成立的充要条件.

【解析】设则，对手任何正整数，都有

因为所以即.

对任何正整数都成立的充要条件是即

【评注】1.利用二项式定理证明不等式，常常是舍弃展开式中的若于项，利用整体大于部分来建立不等关系.对任何正整数n，都有

2.将a，b分别表示成和是常用的变形技巧.如将表示成两个三角函数的积，可这样进行：

【例48】在的展开式中，记的系数为的系数为其中.

(1)求的表达式；

(2)是否存在常数使对恒成立?证明你的结论.

【解析】(1)根据多项式乘法运算法则，得

(2)解法1计算得.

代入解得

下面用数学归纳法证明

(1)当时结论成立.

(2)设时成立，即

当时

由①②可得结论成立.

解法2根据多项式乘法运算法则，得.

所以

所以

又也满足上式，所以.

故存在符合题意.

解法3根据多项式乘法运算法则，得

.

所以存在符合题意.

第三章概率与统计

概率是对随机事件发生可能性的度量，很多人对概率与统计并不陌生，它几乎遍及自然科学.社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等领域，作为未来的IT人才，尤其是人工智能方向，这是必备的基础知识.还有行为心理学、深度学习、心智理论等都将用到概率与统计的相关知识，所以概率与统计是当今高考必考知识，必须学好.

一、概率计算

（一）生日预测问题

【例1】房间里有6个人，求至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【解析】16个人的生日都不在同一个月份的概率.

故所求概率为

(二)数字排列问题

【例2】从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算：

（1）这个四位数是偶数的概率；

（2）这个四位数能被9整除的概率；

（3）这个四位数比4510大的概率.

【解析】（1）组成的所有四位数共有（个）.当这个四位数是偶数时：

①若个位数字是0，则有（个）；

②若个位数字不是0，则有个

所以共有（个）.

故组成的四位数为偶数的概率为.

(2)能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除.

数字组合为此时共有这样的四位数（个）.

故能组成被9整除的四位数的概率为.

(3)对比4510大的四位数进行分类:

①当千位是4，百位是5时，有(个)；

②当千位是4，百位是6时，有（个）；

③当千位大于4时，有(个).

所以共有（个）.

故组成的四位数比4510大的概率为.

【例3】从个正整数中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于