2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量1-10-专项训练【含答案】.docxVIP

第一章三角基础，牢固掌握

三角函数的一切问题都源于三角函数的定义，而定义的本质都在单位圆中的三角函数线上得到体现.我们把单位圆比喻为三角函数的“母亲”，当我们遇到困难时，首先想到的是“母亲”，因此，当我们在解决三角问题遇到障碍时，应首先想到单位圆中的三角函数线.

一、三角线段，灵活应用

（一）函数值的大小比较

【例1】若为锐角,则的大小关系为

【答案】

【解析】令其中,

因为,所以

因为所以

所以

【规律探索】

若为锐角,则

如图,在单位圆中,，

即

所以

【例2】若则

A. B. C. D.

【答案】

【解析】当时，排除

当时排除故选

【变式训练】

1.若则的大小关系为

2.若则（）

A. B. C. D.

3.若则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【拓展提升】

满足的所有正整数的和是

【例3】若则（）

A.

B.

C.

D.

【答案】

【解析】因为所以

因为

所以故选

【例4】关于的不等式的解集为

【答案】

【解析】

解得,

所以

【拓展提升】

如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁按逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）.

【例5】如果，，那么的取值范围是

【答案】

【解析】不等式等价于

又是上的增函数,所以,故.因为所以的取值范围是

（二）函数定义域的确定

【例6】函数的定义域是

【答案】

【解析】由题意得即

如图,取公共部分,即得.

【变式训练】

1.函数的定义域是

2.函数的定义域是

3.函数的定义域是

【拓展提升】

1.的定义域是值域是

2.的定义域是值域是

（三）求值计算，符号为上

【例7】已知则

【答案】

【解析】解法1:由得,

则是方程的两根，

该方程可化为解得.

又所以

从而.

所以.

解法2:由得从而得,

所以

【变式训练】

已知则

【例8】已知是三角形的内角,则的取值范围是

【答案】

【解析】设,则

因为所以

设则

区为,

所以

【例9】已知则

【答案】3或

【解析】因为

令则,

化简得即,

解得或.

【例10】已知直线与直线的交点在直线线上,则

【答案】0

【解析】由已知条件，可设两直线的交点为，

则适合关于的方程,

即为方程的两根.

因此,

即

【变式训练】

1.已知则的值为.

A.

B.

C.

D.

2.已知则的值为.

A.

B.

C.或

D.

3.已知为第二象限角，且那么的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

4.定义一种运算且，则的最大值是（）

A.

B.

C.

D.

【例11】已知为锐角则与的函数关系为

【答案】

【解析】令，则原题等价于：

已知为锐角,为钝角,则与

的函数关系为

因为

所以

由得,

则

所以又所以

【例12】已知矩形的边,,为边上一动点，则当最大时，线段的长为（）

A.1或3

B.1.5或2.5

C.2

D.3

【答案】C

【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系,则.

设则

(1)当时

当时,此时为锐角.

(2)当时,,

所以

当时,此时取大,即所求线段的长为2.故选C.

【评注】当过点的圆与轴相切于点时，最大.

【例13】如图，在屏幕之间坐标系中，是单位圆上的动点，过点作轴的垂线与射线交于点,与轴交于点,记且求的最大值.

【解析】

解析

则再令

则当且仅当时等号成立.

经验证等号可以取到,所以面积的最大值为.

二、多角化归，求值计算

当所求代数式中出现多个非特殊角时，破解思路为将非特殊角转化为特殊角，或分子、分母相消，从而得到常数.

（一）切割化弦，作角化归

【例14】的值为

【答案】1

【解析】

【变式训练】

求的值.

【例15】的值为

【答案】

【解析】

【变式训练】

的值为

【例16】的值为

【答案】32

【解析】

【变式训练】求的值

（二）多角并存，凑角化归

【例17】的值为

【答案】

【解析】

【例18】的值为（）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

故选

【例19】的值为

【答案】

【解析】

【例20】已知若求

【解析】由得,

从而

由上例计算可知.

三、两弦齐次，构造求值

对于三角函数齐次整式型代数式的计算，除了可以用高次降幂、和积互化，还可以利用余弦定理的几何背景进行构造，从而快速求值.

【例21】求的值.

【解析】解法1：构造右图，设圆的直径,

则

由余弦定理得：

由正弦定理得:

所以即原式.

解法2：

【变式训练】

1.求的值.

2.求的值.

【例22】若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围为

【答案】

【解析】将条件中的两式平方,消去得:

所以又是正实数,所以.

四、正弦余弦，和积互化

三角函数运算中的和、差、积

之间存在着密切的联系，可以相互转化，如

【例23】若求的值.