2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量11-20-专项训练【含答案】.docxVIP

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又所以.

【例24】已知试用表示的值.

【解析】

因为所以,

从而。

【变式训练】

已知则的值为__________。

【例25】函数的值域为__________。

【答案】。

【解析】令则,

所以。

【变式训练】

设为第二象限角,若则__________。

五、二角值域，多管齐下

求由三角函数复合而成的函数的值域,要思维灵活、方法多样、多管齐下.若函数式中只出现同名函数，一般考虑换元破招：若函数式中出现异名函数,且又是齐次整式型,可考虑用柯西不等式放缩;若函数式中出现异名函数,且又是齐次分式型,可考虑用分子、分母同时除以一个代数式,转化为只含一元的二次分式函数来解决.

(一)一次整式型

【例26】已知函数,求函数的值域.

【解析】因为,所以

用端点代入,得.

而端点值取不到,所以.

(二)一次分式同名型

【例27】已知函数求函数的值域.

【解析】由于分母令则,

易知函数在内单调，

从而只要代入端点值、取中间即可,所以

【例28】已知函数，求函数的值域.

【解析】由于分母，令则,

易知函数在内有渐近线，

从而只要代入端点值、取两边即可,所以.

【例29】已知函数求函数的值域.

【解析】由于分母，令则,

易知函数在的左端点处有渐近线，

从而只要代入右端点值、取一边即可,所以

【例30】已知函数求函数的值域.

【解析】由于分母，令则,

易知函数在的右端点处有渐近线，

从而只要代入左端点值、取一边即可,所以.

(三)一次分式异名型

【例31】已知函数求函数的值域.

【解析】用柯西不等式求解。

由题意得,

即解得所以

【例32】已知函数求函数的值域.

【解析】用柯西不等式法求解.

由题意得,

即解得

【例33】已知函数求函数的值域.

【解析】用柯西不等式法求解.

由题意得,

即解得.

【变式训练】

已知函数求函数的值域.

【例34】已知函数,求函数的最小值,并求取得最小值时的值.

【解析】用柯西不等式法求解.

由题意得,

所以解得即故函数的最小值为.

由得所以取得最小值时.

【例35】已知函数求函数的值域.

【解析】。

令因为所以，

则当且仅当时取等号,经验证等号能取到，

所以。

【例36】已知函数求函数的值域.

【解析】令则其中

由题意得,

由直线斜率的定义即可得.

【评注】本题也可用以下方法求解：

由,知.

【例37】已知函数求函数的值域.

【解析】用上例的方法，要注意自变量的取值范围。

由知

【变式训练】

已知函数求函数的值域.

(四)二次分式和积型

【例38】已知函数求函数的值域.

【解析】令

则所以.

再令则,

故

【例39】已知函数求函数的值域.

【解析】令则所以

再令则故.

【例40】已知函数求函数的值域.

【解析】。

令则。

(五)二次整式和积型

【例41】已知函数，求函数的值域.

【解析】令则

又所以

【例42】已知函数求函数的值域.

【解析】令则

因为所以

【例43】已知函数求函数的值域.

【解析】

令,

则。

【例44】已知函数,求函数的值域.

【解析】。

经验证等号能取到,所以

(六)二次分式复合型

【例45】已知函数求函数的值域.

【解析】。

当时,令则。

又从而

当时，。

所以

(七)二次分式对勾型

【例46】已知函数求函数的值域.

【解析】令则从而,

所以,即

(八)二次整式型

【例47】已知函数，求函数的值域.

【解析】令则

第二章图像特征模式转化

三角函数的图象直观地体现了三角函数的性质,其主要特征是图象的对称性、值域和单调性.解决问题时,一般都应把三角函数的综合表达式转化为标准型,然后再进行处理,故模式转化是关键.

一、对称相关问题

【例1】已知的一条对称轴为求的值.

【解析】因为的一条对称轴为直线所以从而得

【评注】充分利用题设的必要条件可大大简化运算.

1.已知的一条对称轴为直线则________.

2.已知函数是偶函数,则________.

3.已知函数是偶函数,则________.

4.已知为偶函数,则可以取的一个值为( )

A. B. C. D.

【例2】已知函数为常数在处取得最小值,则函数是( ).

A.偶函数,且它的图象关于点对称 B.偶函数,且它的图象关于点对称

C.奇函数,且它的图象关于口对称 D.奇函数,且它的图象关于点对称

【答案】D

【解析】易知函数是奇函数.

与关于直线即对称.

由于函数在处取得最小值,则在处取得最小值，

因为的周期也是故选

【评注】与关于直线对称.

错觉：则关于直线对称.

【变式训练】

1.设函数的图象关于直线对称,它的周期是,则.

A.的图象过点 B.在区间上是减函数

C.的图象的一个对称中心是 D.的最大值是

2.若函数对任意实数都有且则实数的

值等于().

A.±1 C.-3或1