2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量101-110-专项训练【含答案】.docxVIP

(十二)正弦之积,定理变式

(例33)在中，内A,B,C的对边分别是a,b,c.已知

(1)求角的大小;

（2)若的面积求的值.

[解析]

(1)由已知条件得

所以解得所以

(2)由得,

由余弦定理得为外接圆的半径，

所以.

十三、求角最值，不等放缩

(例34]已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

（1）若a,b,c成等差数列，求证

(2)若a,b,c成等比数列，求的最小值.

(解析

(1)因为a,b,c成等差数列，所以,

由正弦定理得

因为,

所以.

(2)因为a,b,c成等比数列，所以

由余弦定理得.

因为当且仅当时等号成立),

所以当且仅当时等号成立),

所以即当且仅当时等号成立).

所以的最小值为.

[评注考点为正弦定理、余弦定理、基本不等式.

(十四)面积探求,边角联动

例35在中，内角A,B,C所对的边分另为a,b,c.已知

(1)求角的大小;

(2)若求的面积.

解析

(1)由题意得,

即

即.

由得又从而即所以.

故

所以的面积为.

评注本题主要考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.

(十五)函数最值,切记范围

(例36]设的内角A,B,C所对的边a,b,c依次成等比数列,求的取值范围.

解析设a,b,c的公比为q,则

而

田此，只需要求的取值范围.

因为a,b,c成等比数列，最大边只能是或,

因此a,b,c要构成三角形的三边,必须且只要且,

则有不等式组即解得

从而因此所求的取值范围是.

变式训练

已知的面积为3,且满足设和的夹角为

(1)求的取值范围;

(2)求函数的最大值与最小值.

（解析)原式

而

当且仅当且时，上式等号成立.

故当,且时,原式取得最大值.

十六切式化弦定理变式

(例38)在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

(1)求的值;

（2)若点在双曲线上,求的值.

(解析

(1)由得

进而得,

由正弦定理得,

再由余弦定理得,所以即.

(2)由题意,有得则,

所以.

六、抓往特征,活用定理

(一)巧设变量,方程破招

[例39]已知在中，是BC的中点,若则

[答案)

解析如图,设则在中

作于点E,由得,

故在中，

在中,

所以有得.

易得，

从而有.

(二)转化齐次,快速求解

(例40]设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且则

答案：

解析

因为由正弦定理得,

所以

，

所以.

化归统一巧妙放缩

[例41]已知的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若则面积的最大值为

答案

解析因为，

则由正弦定理得,

由余弦定理得则有

从而可得即

因为

所以

当时取得最大值故选

（例42）已知在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且若的面积则ab的最小值为

答案12

解析

由正弦定理和可得,

即整理得.

又故即.

由的面积为得.

根据余弦定理可得

整理得所以当且仅当时取得等号，

故ab的最小值为12.

例43在钝角中,已知则

答案

解析：解法，

有

则

所以

又,

从而有.

又因为,所以,

所以.

解法2：由得,

则

即

从而有

易知

则,

得解得.

例44已知在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且当角最大时,求的周长.

(解析)解法1：正弦定理法

由得

即

即

即

从而

故,

当时取到最大值,最大值为此时.

因为所以从而的周长为.

解法2:余弦定理法

由得,

再由得

由得经验证等号能取到，所以角最大为.

此时，由

从而的吉长为.

解法3:余弦定理法2

由得即

则

今则经验证等号能取到，

所以角最大为此时.

此时,由

从而的周长为.

例45若的内角A,B满足则当角取最大值时