2025高考数学二轮复习-三角函数与平面向量111-120-专项训练【含答案】.docxVIP

由对称翻折知，，，（为BC边上的高）。

由三角形的面积公式和得：

，

易知当G，F.E，H四点共线时，的最小值为GH的长，

当GH最小时，D，E，F三点分别是三条高线的垂足.

【例52】如图，在中，，，，的中点为，若长度为3的线段（点在点左侧)在直线BC上滑动，则的最小值为

【答案】

【解析】由得，解得

取AB的中点E，连结EP，则四边形PQDE为平行四边形，如图，从而问题转化为在BC上找一点P，使

最小

作点关于BC的对称点.

由得，

易知，所以

【变式训练】

已知在中，，，，的中点为，若长度为3的线段点在点的左侧)在直线BC上滑动，则的最小值为

(七)等积思想，三角联动

【例53】如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的高，且，求的取值范围.

【解析】由等面积法及余弦定理得

则为辅助角，

所以

即，

即.

【变式训练】

已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为BC边上的高且，若恒成立，求实数的取值范围.

(八)边角放缩，合理配方

【例54】在中，已知，且，若为锐角，求实数的取值范围.

【解析】解法l：因为，所以，即，

由于为锐角，从而，

即，即，所以.

在中，，即，则，

所以.

综上所述，.

解法2：由正弦定理得

由于B为锐角，则

即，从而有，即

则，

所以.

又，

所以.

综上所述，

【例55】设的内角A，B，C的对边分列为a，b，c，若，则

的形状为

【答案】正三角形

【解析】因为，

所以，

所以，从而，

所以的形状为正三角形.

【例56】在中，内角A，B，C的对边分别为，，，则的是大值为

【答案】

【解析】解法1：由题意知，，，

在中，山正弦定理得，

所以，，且，

所以

其中，

而，所以

当时，有景大值，

当，即时取到最大值.

解法2：易知，

令，则有，化简得，

应有，

即.从而得，即的最大值为.

【例57】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中正确的是（填序号）

①若，则；②若，则；

③若，则；④若，则；

⑤若，则.

【答案】①②③

【解析】①

②

③当时，，与矛盾，故；

④取，，满足，得；

⑤取，，满足，得

【例58】已知的三边长a，b，c成等比数列，且周长为6.

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

【解析】（1）解法1:方程思想

由题意，有，得

和是该方程的两个正根，所以，得

不妨设，公比为q，则

从而，得，

所以.

由，

得，所以从而，

所以.

解法2：放缩思想

因为.

所以

则所以.

解法3：海伦公式

由，得.

由海伦公式得

(2)因为，

所以

，故所求最小值为2.

(九)挖掘背景，简化运算

【例59】已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求面积的取值范围.

【解析】如图，设BC边上的中线AD的长为t，高AE的长为h.

因为所以解得，

所以顶点的轨迹是以BC的中点为圆心、1为半径的圆.

天为，

所以.

【例60】已知在中，内角.B.C所对的边分别为a，b，c，且，

(1)求角的大小

(2)若求的取值范围.

【解析】(1)因为

所以有

因为所以

即

从而有得所以.

(2)如图，是的中点，由中线长定理得:

，

由于顶点A的轨迹是以为圆心、为半径的圆的一部分（劣弧），

所以即，

所以.

【例61】如图，已知在等腰中，点在上（为常数，且），为定长，则面积的最大值

【答案】

【解析】解法1:余弦定理和柯西不等式

设则

从而，

则，

，故

因为，所以

解法2:圆的第二定义

如图，由，得

（十）黄金三角，极端定值

【例62】已知在四边形ABCD中，内角A，B，C都是{{75}^{{}^\circ}}，75^{\circ}，BC=2，求AB的取值范围.

【解析】解法l：如图，延长BA，CD交于点E，则可知在中，=，，，

设，则设

因为，所以即，

所以，而，

所以的取值范围是.

解法2:如图，延长BA，CD交于点E，作，

由题意知，则，

由，从而有.

(十一)目标分析，齐次化角

【例63】已知仕中，，则

【答案】-7

【解析】解法1:由条件知即

则，

即，

得，

即，

也即，

所以.

解法2：由条件知

即即

从而有

即

所以.

(十二)巧设参数，构建关系

【例64】如图，在中，正内接于求面积的最小值.

【解析】如图，设，的幼长为，

则，

从而

所以.

(十三)实例建模，遇积化和

【例65】某菜农有两段总长度为20m的篱笆PA，PB，现打算用它们和两面成直角的楠OM，ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM，ON这两面墙都足够长).已知，，

.设，四边形OAPB的面积为S.

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