2025年北师大版九年级下册数学考点培优训练考点三 30°,45°,60°角的三角函数值.docxVIP

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三30°,45°,60°角的三角函数值

【A层基础夯实】

知识点1特殊角三角函数值的计算

1.在△ABC中,若三个内角∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则sinA∶sinB等于(B)

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶3 D.2∶3

2.(2024·烟台期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=12,那么sinB等于

A.32 B.12 C.33

3.(2024·杭州模拟)定义一种运算abcd=ad-bc,计算:5sin60°215

4.计算:?12?2-sin45°?cos30°2+tan260°=7+22

5.计算:

(1)sin60°tan45°+cos30°

【解析】(1)原式=321+3212=3

(2)tan30°sin60°-cos245°+tan45°.

【解析】(2)原式=33×32-(22)2+1=12

知识点2特殊角三角函数值的应用

6.(2024·泉州期中)在△ABC中,若|cosA-32|+(22-cosB)2=0,则△ABC

A.锐角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

7.如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.8m,∠DCF=30°,则车位所占的宽度EF为5米.(3≈1.7,结果精确到

8.如图,在△ABC中,AB=7,BC=8,AC=5,求△ABC的面积和∠C的度数.

【解析】过A作AD⊥BC于D,设BD=x,则DC=8-x,

由勾股定理可得:AB2-BD2=AC2-CD2,

即49-x2=25-(8-x)2,解得x=112

∴AD=AB2?BD

∴S△ABC=12BC·AD=12×8×53

在Rt△ACD中,∵sinC=ADAC=5325=32

9.如图(Ⅰ)所示,某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处,再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处.如图(Ⅱ)所示,将直线l视为水平面,山坡①的坡角∠ACM=30°,其高度AM为0.6千米,山坡②的坡度为1︰1,BN⊥l于N,且CN=2千米

(1)求∠ACB的度数;

【解析】(1)∵山坡②的坡度为1︰1,

∴CN=BN,∴∠BCN=45°,

∴∠ACB=180°-30°-45°=105°;

(2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

【解析】(2)在Rt△ACM中,∠AMC=90°,∠ACM=30°,AM=0.6千米,

∴AC=2AM=1.2千米,

在Rt△BCN中,∠BNC=90°,∠BCN=45°,CN=2

则BC=CNcos∠

∴该登山运动爱好者走过的路程为1.2+2=3.2(千米).

【B层能力进阶】

10.(2024·衢州期末)如果三角形满足,一个角是另一个角的3倍,那么我们称这个三角形为“和谐三角形”.下列各组数据中,能作为一个“和谐三角形”三边长的是(C)

A.2,2,2 B.1,1,2

C.1,2,3 D.3,4,5

11.下列各式中,不正确的是(B)

A.sin260°+cos260°=1

B.sin30°+cos30°=1

C.sin35°=cos55°

D.cos45°=sin45°

12.已知∠A为锐角,且cosA≤12,那么

A.0°∠A≤60° B.60°≤∠A90°

C.0°∠A≤30° D.30°≤∠A90°

13.关于x的方程x2-2x+2sinA=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角△ABC的一个内角,则∠A=30°.?

14.(2024·广州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,AC=6,点D在AB边上,且AD=3,点E在直角边上,且不与顶点重合,直线DE把Rt△ABC分成两部分,若其中一部分与原Rt△ABC相似,则∠ADE=30°或120°.?

15.(易错警示题·忽视分类讨论遗漏其他情况)在△ABC中,∠ABC=30°,AB=43

AC=4,则BC=8或4.?

16.计算:

(1)4(1-cos30°)+2sin60°2tan45°?3tan30°

【解析】(1)原式=4×(1-32)+2×322×1?3×33=4-2

(2)cos245°-sin60°3tan30°+cos30°

【解析】(2)cos245°-sin60°3tan30°+cos30°=(22)2-323×33+32=1

【C层创新挑战(选做)】

17.(模型观念、运算能力、应用意识)图1是我国宋代时期发明的立式风车,是一种由风力驱动使轮轴旋转的机械,图2是现代人根据风车设计的风力发电机,风轮的三个叶片均匀分布,当风轮的叶片在风力作用下旋转时,最高点距地面145m,最低点距地面55m