2025年北师大版九年级下册数学考点培优训练考点五 解直角三角形.docxVIP

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五解直角三角形

【A层基础夯实】

知识点1已知两边解直角三角形

1.(2024·上海期末)在△ABC中,如果BC=2,AB=7,AC=3,那么cosA=?

2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边的中点,过D作DE⊥AB,垂足为点E,如果AD=2,AB=6,那么cos∠ADE=?53

3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sinA的值.

【解析】∵∠C=90°,AB=5,BC=3,

∴AC=AB2-BC2=52-32=4,sinA

知识点2已知一边一锐角解直角三角形

4.(2024·遵义模拟)在△ABC中,AC=6,∠B=45°,∠C=60°,尺规作图方式如图所示,AB=(D)

A.6+1 B.3

C.22 D.3

5.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sinB=45,则BC

A.3 B.6 C.8 D.9

6.如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=5,tanC=43,则BC=43+3

7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.

(1)c=83,∠A=60°;

【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=83,∠A=60°,

则∠B=90°-60°=30°,∴b=12c=12×83=4

∴a=c2-b

(2)b=7.234,∠A=7°20.(长度精确到0.001,参考数据:tan7°20≈0.13,cos7°20≈

0.99,sin7°20≈0.13)

【解析】(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=7.234,∠A=7°20,

则∠B=90°-7°20=82°40,

∵tan7°20=ab=a7.234,∴a≈0.13×7

又∵cosA=bc

∴c=bcosA=7.234

【B层能力进阶】

8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是(C)

A.a2+b2=c2 B.c=b

C.tanA=ac D.a=c·sin

9.(2024·南京质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=3,则AD长是(B)

A.8 B.6 C.4 D.2

10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3BC,则∠B的度数为60°.?

11.已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cosB=45,则AC=5

12.如图,某游客在山脚下乘缆车上山.导游告知,索道与水平线成角∠BAC为40°,缆车速度为60米/分,11分钟到达山顶,请根据以上信息计算山的高度BC约为422米.(精确到1米)(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)?

13.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD=35

(1)求BC的长;

【解析】(1)设DE=3x,DE⊥BC,

∵sin∠BCD=35,∴DECD=

∴CD=5x,CE=4x,∵CD=5,

∴x=1,∴CE=4,∵∠B=45°,

∴DE=BE=3x=3,∴BC=BE+CE=7.

(2)求∠ACB的正切值.

【解析】(2)过点A作AF⊥BC于点F,

∴DE∥AF,∴BDAD=BE

∵D是AB的中点,∴E是BF的中点,

∴DE是△ABF的中位线,∴AF=2DE,BF=2BE,

由(1)可知:DE=BE=3,∴AF=6,BF=6,

∴CF=BC-BF=1,∴tan∠ACB=6.

【C层创新挑战(选做)】

14.(模型观念、运算能力、应用意识)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理.

(1)在图②中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD=;?

(2)在(1)的条件下,若AB=106米,求点A到OB的距离

【解析】(1)∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°;

答案:90°

(2)如图,过点A作AE⊥OB于点E,

∵入射角∠BOC=30°,入射角等于反射角,

∴∠AOC=∠BOC=30°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°,

∵AD⊥AB,∠OAD=15°,∴∠OAB=75°,

∴∠B=180°-∠AOB-∠OAB=45°,

∵AE⊥OB,∴△AEB为等腰直角三角形,

在Rt△ABE中,AB=106米,AE=AB·