2025年高中数学一本通必修二第9第2节 分层随机抽样、获取数据的途径（1）含答案.doc

2025年高中数学一本通必修二第9第2节分层随机抽样、获取数据的途径（1）9.1.2分层随机抽样

9.1.3获取数据的途径 习题：P1

-----------------------▌知识梳理▌-----------------------

知识点1：分层随机抽样

1．分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．加底色

加底色

注：①为什么要采用分层随机抽样的方式？

在简单随机抽样中，总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，导致出现估计的误差较大的情况，分层随机抽样可以一定程度上规避这类问题.

例如，要调查某一高中的学生身高，我们知道男生身高普遍高于女生，若直接采用简单随机抽样，可能出现的结果是样本中男生偏多（或女生偏多），从而导致调查后的身高偏高（或偏低），分层随机抽样即在男生和女生两个群体中按比例抽样，可以一定程度上规避因男女生身高差异造成的误差.

②在比例分配中，有如下两个公式：

(i)；

(ii).

2．分层随机抽样的步骤

第一步：根据个体的某一特征对统计指标的影响（如性别、年龄等等），将总体分成互不重叠的层；

第二步：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比；

第三步：确定第i层应该抽取的个体数为为总体中第i层所包含的个体数，使得各之和为n；

第四步：根据上一步确定出每一层应抽取的个体数在各层中抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.

注：①分层随机抽样如何分层要根据具体情况来确定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大；

②根据实际情况可对每层所抽取的数目进行适当调整，如计算后层内的样本数不是整数，可以灵活进行取整.

3．分层随机抽样的特点

①区别于简单随机抽样，分层抽样可适用于由样本量大，且差异比较明显的几部分组成的总体，便于进行分层；

②分成的各层互不重叠；

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，设n为样本容量，N为总体容量，则比例为.

知识点2：分层随机抽样的平均数计算

1．总体平均数和样本平均数的计算

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．设第1层的总体平均数和样本平均数分别为和，第2层的总体平均数和样本平均数分别为和，则：

总体平均数，

样本平均数.

2．用样本平均数估计总体平均数

由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可用来估计总体平均数.

在比例分配的分层随机抽样中，，所以，，故

，所以在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．

知识点3：获取数据的途径

1．通过调查获取数据

对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、农村贫困人口脱贫状况、生态环境改善状况、青少年受教育状况、高中生近视的比例、产品合格率等问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据．

2．通过试验获取数据

试验是获取样本观测数据的另一种重要途径．例如，要判断研制的新药是否有效、培育的小麦新品种是否具有更高的产量等情况，没有现存的数据可以查询，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据．

3．通过观察获取数据

在现实生活中，我们感兴趣的很多自然现象都不能被人类所控制，如地震、降水、大气污染、宇宙射线等．自然现象会随着时间的变化而变化，不能用我们已经学过的有限总体来刻画，也就不能用抽样的方法获取观测数据；另一方面，由于自然现象不能被人为控制，也不能通过试验获取观测数据．研究这类现象，只能通过长久的持续观察获取数据．

4．通过查询获得数据

随着信息技术的发展，通过互联网获取数据越来越成为获取二手数据的主要方式．例如，可以从国家统计局的官方网站查询得到国家统计局公布的各种统计数据．在网络上，也有专门提供数据服务的公司，它们提供政府部门允许公开的各类数据.

知识点1

【例1】某学校有男生700名，女生400名，为了解男、女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，拟从该校全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）

A．抽签法

B．随机数法

C．按成绩排名分层抽样

D．按性别分层抽样

解析：由于要调查的是男、女学生在学习立体几何的空间想象能力方面是否存在显著差异，为了提高样本的代表性，应选择按性别分