2025版高考数学一轮复习第七章不等式第3讲二元一次不等式组及简单的线性规划问题教案理含解析新人教A版.docVIP

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第3讲二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题

基础学问整合

1．推断二元一次不等式表示的平面区域

由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的全部点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都eq\o(□,\s\up4(01))相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特别点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的eq\o(□,\s\up4(02))符号即可推断Ax＋By＋C0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划中的基本概念

画二元一次不等式表示的平面区域的方法

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．

(2)特别点定域：若直线不过原点，特别点常选原点；若直线过原点，则特别点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

1．(2024·山西临汾模拟)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是()

答案C

解析由y(x＋y－2)≥0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x＋y－2≥0))或

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤0，,x＋y－2≤0，))所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项中阴影部分所表示的区域．故选C.

2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为()

A．(－7,24)

B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C．(－24,7)

D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

答案A

解析由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)0，所以(a＋7)(a－24)0，所以－7a24.

3．(2024·广州模拟)若实数x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3≥0，,y≥x≥1，))则z＝eq\r(x2＋y2)的最小值为()

A.3 B.eq\r(5)

C.eq\r(3) D.eq\r(2)

答案D

解析作出不等式组

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3≥0，,y≥x≥1))表示的平面区域如图，z＝eq\r(x2＋y2)表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z的最小值为eq\r(2).故选D.

4．(2024·浙江高考)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋y－3≥0，,x－2y≤0，))则z＝x＋2y的取值范围是()

A．[0,6] B．[0,4]

C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)

答案D

解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D.

5．(2024·全国卷Ⅱ)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,x－2y＋3≥0，,x－5≤0，))则z＝x＋y的最大值为________．

答案9

解析不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.

6．(2024·河南新乡联考)已知z＝2x＋y，x，y满意不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x，,x＋y≤2，,x≥m，))且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是________．

答案eq\f(1,4)

解析可见A(m，m)，B(1,1)，所以当直线z＝2x＋y过点A时有最小值为3m，当过点B时有最大值为3，所以3＝4×3m，所以m＝eq\f(1,4).

核心考向突破

考向一二元一次不等式(组)表示平面区域

例1(1)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,x－y－1≥0，,3x－2y－6≤0))表示的平面区域的面积等于________．

答案eq\f(3,2)

解析

不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(1,0)，B(2,0)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,3x－2y－6＝0，))得C(4,3)．

∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·|yc|＝eq\f(1,2)×1×3＝eq\f(3,2).

(2)若不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4