2022届高考数学压轴难题及答案.pdf

2022届高考数学压轴题

1．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，a∈R．

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的取值范围；

1

（Ⅱ）若a＝﹣1时，方程f（x）＝b﹣3x（b∈R）在[，2]上恰有两个不等的实数根，求

2

b的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≥0得ax﹣lnx≥0，2

∵x＞0，∴a≥，设函数g（x）=，

22

1−2

则g′（x）=3（x＞0），

＜＞

令g′（x）＞0，解得：0＜x，令g′（x）＜0，解得：x，

√√

故函数g（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，

√√

1

故x=时，函数g（x）取最大值g（）=，

√√

2

1

故a的取值范围是[，+∞）；

2

1

（Ⅱ）由题意得x﹣3x+lnx+b＝0在[，2]上恰有2个不相等的实数根，2

2

设函数F（x）＝x﹣3x+lnx+b（x＞0），2

(2−1)(−1)

则F′（x）=，

1

＜

令F′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x，

2

1

＜

令F′（x）＜0，解得：x＜1，

2

11

故F（x）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+∞）递增，

22

1

∵f（x）＝b﹣3x（b∈R）在[，2]上恰有2个不相等的实数根，

2

15

()≥0−−2≥0

245

故{＜即{，解得：+ln2≤b＜2，

(1)0＜

−204

(2)≥0−2+2≥0

5

故b的取值范围是[+ln2，2）．

4

223

2．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为