新高考数学一轮复习考点题型训练 4.9三角形中的最值、范围问题（精讲）（原卷版）.doc

4.9三角形中的最值、范围问题

【题型解读】

【知识储备】

三角形中的最值范围问题处理方法

1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边

余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2.转为三角函数求最值、范围-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边

【题型精讲】

【题型一与角有关的最值、范围问题】

例1（2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－eq\r(3)a＝0．

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

例2（2022·全国·高三专题练习）已知中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·全国高三单元测试）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.△ABC的面积为S，若.

(1)求角C；

(2)求的取值范围.

2．（2022·合肥百花中学高三期末）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（???????）

A． B． C． D．

3．（2022·全国高三课时练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA＝0．

(1)若b＝7，a＋c＝13，求△ABC的面积；

(2)求sin2A＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C－\f(π,6)))的取值范围．

4．（2022·山东潍坊高三期末）在中，，，分别是角，，的对边，并且．

（Ⅰ）已知_______，计算的面积；

请从①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．

（Ⅱ）求的最大值．

【题型二与边有关的最值、范围问题】

例3（2022·广西河池·高三期末）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则边上的中线长的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

例4（2022·山东青岛·高三期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围.

【题型精练】

1．（2022·河南·高三期中）在中，，，D为BC中点，则AD最长为_________.

2．（2022·甘肃兰州·高三期中）已知分别为三个内角的对边，.

(1)求；

(2)若，求的最大值.

3.（2022·四川资阳市高三月考）在锐角中，角，，所对边分别为，，，若，，则的取值范围是______．

【题型三与周长有关的最值、范围问题】

例5（2022·河南·高三阶段练习）在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（???????）

A． B． C． D．

例6（2022·山东济南市高三月考）已知锐角的内角的对边分别为，且.

(1)求；

(2)当时，求周长的取值范围.

【题型精练】

1．（2022·陕西高三期中）在?ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，CB=2CD.

（1）若cos∠CDB=?55，求

2．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）设锐角的三个内角的对边分别为且，，则周长的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

3.（2022·济南省实验月考）已知在中，角，，的对边分别为，，，满足．

（1）求角的大小；

（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．

【题型四与面积有关的最值、范围问题】

例7（2022·贵州金沙·高三阶段练习）在中，，D是BC上一点，且，，则面积的最大值是（???????）

A． B． C． D．

例8（2022·湖南益阳·高三期末）为边上一点，满足，，记，．

(1)当时，且，求的值；

(2)若，求面积的最大值．

【题型精练】

1．（2022·山东省济宁市高三月考）已知，，分别是内角，，的对边，，当时，面积的最大值为______．

2.（2022·湖南益阳月考）（多选）设的内角，，所对的边分别为，，，，且，若点是外一点，，.下列说法中，正确的命题是（???????）

A．的内角 B．的内角

C．的面积为 D．四边形面积的最大值为

3.（2022·昆明市官渡区第一中学高三月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，．

（1）求角的大小和边长的值；（2）求面积的取值范围．