新高考数学一轮复习考点题型训练 5.5平面向量中的最值、范围问题（精讲）（原卷版）.doc

5.5平面向量中的最值、范围问题

【题型解读】

【知识必备】

一、平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．

二、平面向量范围与最值问题常用方法：

（1）坐标法

第一步:根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步:将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

（2）基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

（3）几何意义法

第一步:先确定向量所表达的点的轨迹

第二步:根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

【题型精讲】

【题型一平面向量数量积的最值范围问题】

必备技巧数量积的最值范围处理方法

（1）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算，

（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，

（3）利用极化恒等式来处理.

例1（2022·河南高三月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为

A．18 B．24 C．36 D．48

例2（2022·陕西·交大附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________.

【跟踪精练】

1.（2022·山东·山师附中模拟预测）已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则的最大值是

2.（2022·云南玉溪·高三月考）如图直角梯形ABCD中，EF是CD边上长为6的可移动的线段，，，，则的取值范围为________________.???

【题型二平面向量模的最值范围问题】

方法技巧模的最值范围处理方法

设,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．

例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知△ABC为等边三角形，AB=2，△ABC所在平面内的点P满足，的最小值为（）

例4（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量，满足，，则的最大值为______.

【跟踪精练】

1.（2022·全国·高三课时练习）已知，点在线段上，且的最小值为，则（）的最小值为（???????）

A． B． C．2 D．

2.（2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________．

【题型三平面向量夹角的最值范围问题】

例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）非零向量满足=,,则的夹角的最小值是．

例6（2022·河北武强中学高三月考）已知,,且与的夹角为锐角,则的取值范围是．

【题型精练】

1．(2022·福建省漳州市高三一模)已知向量与的夹角为，，，，，在时取最小值，当时，的取值范围为

A．， B．， C．， D．，

2.(2022·福建省漳州市高三期末)设向量、满足：，，的夹角是，若与的夹角为钝角，则的取值范围是

A． B．

C． D．

【题型四平面向量中系数的最值范围问题】

必备技巧系数的最值范围处理方法

（1）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理，

（2）利用极等和线定理来处理.

例7（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（???????）

A．48 B．49 C．50 D．51

例8（2022·海南海口·二模）设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于．

【题型精练】

1.（2022?南通期末）在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

2.（2022?济南期末）设，为单位向量，非零向量，，，若，的夹角为，则的最小值为

A． B． C．1 D．4