河北省衡水市武强县衡水街关中学2024-2025学年高一下学期开学检测 数学试题（含解析）.docx

高一数学开学检测卷

（范围：第一章到第五章考试时间：60分钟试卷满分：100分）

一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共45分．

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．

方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．

【详解】方法一：因为，而，

所以．

故选：C．

方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．

故选：C．

2.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.

【详解】因为函数在区间上单调递减，

所以，解得.

故选：D

3.已知函数，则（）

A.0 B.3 C.8 D.15

【答案】B

【解析】

【分析】代入求解即可.

【详解】由题知.

故选：B.

4.已知函数定义域为，则函数的定义域为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.

【详解】因为函数的定义域为，

所以函数的定义域为，

则对于函数，需满足，

解得，即函数的定义域为.

故选：D

5.已知幂函数在上是减函数，则的值为（）

A.-3 B.1 C.1或2 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求得的值，再验证幂函数的单调性可得解.

【详解】由幂函数的定义可得，解得或，

当时，在上是减函数，符合题意；

当时，在上是减函数，符合题意.

所以或.

故选：C

6.已知，，，则，，的大小关系是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1即可比较大小.

【详解】,,,

,

故选：A

【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题.

7.若，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得；

【详解】，

故选：C．

二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．

8.已知且，若恒成立，则实数可取（）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】AB

【解析】

【分析】利用基本不等式单位“1”的应用，求出的最小值，从而可求解.

【详解】由题意知，，

所以，

当且仅当时取等号，所以，解得，所以A、B正确.

故选：AB

9.已知关于的不等式的解集为，则（）

A.的根为和

B.函数零点为和

C.

D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.

【详解】关于的不等式的解集为，

，C选项正确；

且和是关于的方程的两根，

则，则，，故D不正确；

不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.

故选：AC．

三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共计10分．

10.已知函数，且，则函数的值是__________．

【答案】

【解析】

【分析】令，可证得为奇函数；利用求得，进而求得.

【详解】令

为奇函数

又

本题正确结果：

【点睛】本题考查构造具有奇偶性的函数求解函数值的问题；关键是能够构造合适的函数，利用所构造函数的奇偶性得到所求函数值与已知函数值的关系.

11.已知函数为奇函数，当时，，则时，_________．

【答案】

【解析】

【分析】当时，，将代入大于零时的表达式，再结合奇偶性化简即可求解.

【详解】当时，，则，因为函数为奇函数，

所以，.

所以当时，.

故答案为：

四、解答题：本题共2小题，共计33分．

12.已知函数，且关于x的不等式的解集为．

（1）求实数b，m的值；

（2）当时，恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】（1），；

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据韦达定理求解即可；

（2）转化为在上恒成立，利用均值不等式求的最小值即可.

【小问1详解】

由题意得：，1是方程的根，由韦达定理得，

所以，又，解得．

所以，．

【小问2详解】

由题意得，在上恒成立，令，只需即可，

由均值不等式得，当且仅当，即时等号成立．

所以，则的取值范围是．

13.已知函数．

（1）若，且，求的值；

（2）求函数最小正周期，及函数的单调递减区间．

【答案】（1）

（2）最小正周期，，

【解析】

【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到；

（2）利用三角恒等变换得到，利用