河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期开学收心考试 数学试题（含解析）.docx

2024—2025学年第二学期高二年级2月收心考

数学

考试说明：

1．本试卷共150分．考试时间120分钟．

2．请将各题答案填在答题卡上．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先由直线方程求出斜率，再由斜率求出直线的倾斜角

【详解】设直线的倾斜角为，

由直线可知其斜率为，

所以，

因为，

所以.

故选：C.

2.已知圆，则圆心到直线的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式计算得解.

【详解】圆的圆心为，

所以圆心到直线的距离.

故选：D

3.在等差数列中，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，结合等差数列通项公式计算得解.

【详解】设等差数列的公差为，则.

故选：A

4.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点、，若，则（）

A.3 B.6 C.18 D.12

【答案】C

【解析】

【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求解.

【详解】抛物线的焦点，准线：，

直线不垂直于轴，设其方程为，设，

由消去得：，则，由，得，

因此，，

所以.

故选：C

5.在正项等比数列中，若，，则（）

A.1 B.2 C.3 D.

【答案】C

【解析】

【分析】由等比数列的性质可得，代入已知条件，解方程可得所求值.

【详解】正项等比数列中，

可得，

解得（负值舍去）.

故选：C.

6.已知双曲线上两点关于原点对称，为双曲线的左顶点，若直线和直线的斜率之积为，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，代入双曲线的方程，再由直线的斜率公式可得的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值.

【详解】设，

可得，

即有，

由，

可得，

故选：B.

7.已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解.

【详解】由，且，得点在平面内，

因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高，

长方体中，，，

等腰底边上的高，，

由，得，即，解得，

所以的最小值为.

故选：D

8.已知数列的前项和为，且，，则的值为（）

A.360 B.480 C.960 D.1280

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的递推公式可得，再求出数列的前40项中的奇数项的和及偶数项的和即可.

【详解】当n为奇数，，，

当n偶数，，，

因此，的奇数项是以3为首项，3为公差的等差数列；

的偶数项是以为首项，3为公差的等差数列，

所以

.

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9.已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（）

A. B.

C.在上的投影向量为 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由向量的模、数量积公式，投影向量的定义，向量夹角公式依次求解即可.

【详解】因为，

对于A，，故A正确；

对于，，所以与不垂直，故错误；

对于C，在上的投影向量为

，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：ACD.

10.已知直线与圆交于两点，则（）

A.过定点

B.若直线平分圆的周长，则

C.的最小值为

D.的中点的轨迹所形成的图形的面积为

【答案】AC

【解析】

【分析】求出直线所过定点判断A；利用圆的性质计算判断CD；求出轨迹方程判断D.

【详解】对于A，直线过定点，A正确；

对于B，圆的圆心，半径，当直线过点时，

，解得，B错误；

对于C，，当且仅当时，，C正确；

对于D，当点不在直线时，，点在以线段为直径的圆上，

当在直线时，点在以线段为直径的圆上，而直线不含直线，

即点不含点，因此点的轨迹是以为直径的圆（除点外），

因此的中点的轨迹所形成的图形的面积为，D错误.

故选：AC

11.伟大的古希腊哲学家阿基米德最早用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，已知椭圆的右顶点为，上顶点为．是椭圆的左、右焦点．为椭圆上的动点．则下列说法正确的是（）

A.椭圆的面积为

B.若的内切圆的面积为，则

C.椭圆上存在6个点，使得直角三角形

D.设点的坐