湖南省常德市第六中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（含解析）.docx

湖南省常德市武陵区常德市第六中学2024-2025学年

高二下学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知数列满足：，，则（????）

A．10 B．11 C．12 D．13

3．已知a＝log23﹣log2，b＝log0.5π，c＝0.9﹣1.1，则（??）

A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a

4．过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（??????）

A． B． C． D．

5．已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（????）

A． B．或

C． D．或

6．已知函数，下列结论正确的是（????）．

A．函数的最小正周期为，最小值为1

B．函数的最小正周期为，最小值为0

C．函数的最小正周期为，最大值为2

D．函数的最小正周期为，最大值为

7．过椭圆上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为、，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

8．在数列中，已知，且，则以下结论成立的是（?????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知向量，，是空间直角坐标系中的坐标向量，，，，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．，所成角为钝角 D．可以用，表示

10．记为数列的前n项和，以下命题是真命题的是（????）

A．是等差数列，则的充要条件为

B．是等比数列，则的充要条件为

C．是等差数列的充要条件为﹜是等比数列

D．是等差数列的充要条件为为等差数列

11．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确的是（????）

A．若，则

B．若，则的最小值为5

C．以线段为直径的圆与直线相切

D．若，则直线的斜率为

三、填空题

12．一个不透明的袋中有五张形状大小完全相同的卡片，它们上面分别标有数字0、-1、2、-3、4随机抽取一张卡片，把上面的数字记为，然后再从剩下的四张卡片随机抽取一张，把上面的数字记为b，则点在第二象限的概率是.

13．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则．

14．已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是.

四、解答题

15．在中，角A，B，C所对的边分别为，，．已知

(1)求C；

(2)若，求c的最小值．

16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，平面平面ABCD，，，是等边三角形，M为侧棱PB的中点，且，.

(1)求证：平面PAD；

(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.

17．在数列中，，.

（1）设，证明数列是等差数列；

（2）求的前项和.

18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求的面积．

19．已知定义域为的函数满足如下条件：①对任意的，总有；②；③当，，时，恒成立．已知正项数列满足，且，，令

(1)求数列，的通项公式；

(2)若，求证：（）．

参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

A

A

B

A

A

C

AC

BD

题号

11

答案

AC

1．B

【分析】化简集合A，B，根据交集运算得解.

【详解】因为，，

所以，

故选：B

2．B

【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果.

【详解】由题设，则，

即，则.

故选：B

3．A

【解析】将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.

【详解】∵a＝log2log23∈（，1），

b＝log0.5π＜0，

c＝0.9﹣1.1＞1．

∴c＞a＞b．

故选：A．

【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0或者1进行比较，从而区分大小.

4．A

【分析】根据垂径定理可得所得截面的半径，进而根据圆面积与球体积公式求得比值即可.

【详解】球的半径，设截面圆半径为r，则，

所得截面的面积与球的体积的比为.

故选：A.

5．B

【分析】确定函数的单调性，计算，考虑，，三种情况，计算得到答案.

【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，，

，

当时，，故；

当时，不成立；

当时，