2025年人教版九年级下册数学期末压轴题专项复习专题27.3 相似三角形中的动点问题（解析版）.docxVIP

PAGE1

PAGE1

专题27.3相似三角形中的动点问题

【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C?D?A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．

??

（1）当点Q在线段CD上时，求证：CEAE

（2）当DQ=1时，求△APE的面积．

（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】

（1）证明△CQE∽△APE即可得到答案；

（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD?DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=?，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；

（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而

∴△ABC∽△PHQ，则PHQH=ABBC=2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ=BABC

【解题过程】

（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，

∴△CQE∽△APE，

∴CEAE

（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD?DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．

??

由CQAP=V

由△CQE∽△APE，得

∴EM=2

∴S△APE

②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=?．

??

AQ=AD?DQ=1，AP=2

同理：△AME∽

∴EMAM

∴AM=2EM=2?．

同理：△PME∽△PAQ，得

∴PM=10

∴AP=PM+AM=103?+2?=

∴S△APE

∴△APE的面积为45或25

（3）①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t．

?若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则

作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，

∴△ABC∽△PHQ，则PHQH

∴QH=1

∵HD=AP=2t，

∴CD=CQ+QH+HD=3t+1+2t=4，

解得t=3

∴BP=4?2t=4?6

若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点

??

∵AC=A

又∵CE

∴AE=2

∵由△FEQ∽△ABC结合对顶角可得：∠AEP=∠B=90°，而

∴△AEP∽

∴AEAB=APAC，即

∴BP=AB?AP=2．

②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ

作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠NEQ=90°，

??

由∠FEQ=∠NEG=90°，得∠FEN=∠QEG，

∴Rt△FEN

∴ENEG

同理可得：AGEG

设AG=k，则EG=2AG=2k，EN=2EG=4k．

∴DG=EN=4k，AD=AG+DG=5k，

由AD=2，得5k=2，k=2

∴AG=25，

由题意，AQBP

设AQ=3x，则BP=2x，AP=4?2x，QG=AQ?AG=3x?2

由△QGE∽△QAP，得EGAP

化简，得15x

解得x1=13+

∴BP=2x=26?2

综上所述，BP的长为145或2或26?2

1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为20,0和0,15，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线

??

（1）求t=9时，△PEF的面积；

（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时

（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

【思路点拨】

（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12?EF?OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EF

（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm

（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．

【解题过程】

（1）∵EF//OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴EF

当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB?OE=15?